न म नल ख त सम करण पर न म नल ख त सम करण क य ह , अवतल न च ह और यह कह व भक त ब द ह (x, y) f (x) = x ^ 8 (ln (x))?

उत तर:

• अगर # 1 <x <e ^ (- 15/56) # फ र # च # ह अवतल ह न ;
• अगर #x> e ^ (- 15/56) # फ र # च # ह ऊपर क ओर अवतल;
• # एक स = ई ^ (- 15/56) # एक ह (ग रन) व भक त ब द

स पष ट करण:

द ब र अलग-अलग क र य करन क क षमत और व भक त ब द ओ क व श ल षण करन क ल ए # च #, हम द सर व य त पन न क सक र त मकत क अध ययन कर सकत ह । व स तव म, यद # X_0 # क क ष त र म एक ब द ह # च #, फ र:

• अगर #F '' (x_0)> 0 #, फ र # च # ह ऊपर क ओर अवतल क पड स म # X_0 #;
• अगर #F '' (x_0) <0 #, फ र # च # ह अवतल ह न क पड स म # X_0 #;
• अगर #F '' (x_0) = 0 # और क स क त ह '#F' # पर य प त र प स छ ट द ए -पड स म # X_0 # क स क त क व पर त ह '#F' # पर य प त र प स छ ट ब ए -पड स म # X_0 #, फ र # एक स = x_0 # कह ज त ह a स क रमण क ब न द क # च #.

क व श ष ट म मल म #f (x) = x ^ 8 ln (x) #, हम र प स एक फ क शन ह ज सक ड म न प ज ट व र यल तक स म त ह न च ह ए #RR ^ + #.

पहल व य त पन न ह

#f '(x) = 8x ^ 7 ln (x) + x ^ 8 1 / x = x ^ 7 8 ln (x) +1 #

द सर व य त पन न ह

#f '' (x) = 7x ^ 6 8 ln (x) +1 + x ^ 7 8 / x = x ^ 6 56ln (x) +15 #

क सक र त मकत क अध ययन करत ह #F '' (x) #:

• # x ^ 6> 0 iff x ne 0 #
• # 56ln (x) +15> 0 iff ln (x)> -15/56 iff x> e ^ (- 15/56) #

त, यह द खत ह ए क ड म न ह #RR ^ + #, हम वह म लत ह

• अगर # 1 <x <e ^ (- 15/56) # फ र #F '' (x) <0 # तथ # च # ह अवतल ह न ;
• अगर #x> e ^ (- 15/56) # फ र #F '' (x)> 0 # तथ # च # ह ऊपर क ओर अवतल;
• अगर # एक स = ई ^ (- 15/56) # फ र #F '' (x) = 0 #। यह द खत ह ए क इस ब द क ब ई ओर '#F' # नक र त मक ह और सह पर यह सक र त मक ह, हम यह न ष कर ष न क लत ह # एक स = ई ^ (- 15/56) # एक ह (ग रन) व भक त ब द