सभ जट ल स ख य ओ क त र क णम त य र प म बदल और फ र अभ व यक त क सरल बन ए ? उत तर क म नक र प म ल ख ।

उत तर:

{{(2 + 2i) ^ 5 (-sqrt {3} + i) ^ 3} / (sqrt {3} + i) ^ 10 #

# = (sqrt {3} -1) / 2 + (sqrt {3} +1) / 2 i #

स पष ट करण:

इस प रश न क एक अन य उत तर म म न अन म न लग य क इस प रश न म एक ट इप थ और वह ह #-3# ह न व ल थ # -Sqrt {3} #। म झ एक ट प पण म आश व सन द य गय ह क ऐस नह ह, क प रश न ल ख त र प म सह ह ।

हम द हर ए ग क हमन क स न र ध र त क य ह

# 2+ 2i = 2 वर गम टर {2} प ठ {स आईएस} 45 ^ सर क #

# sqrt {3} + i = 2 text {cis} 30 ^ circ #

ल क न अब हम कन वर ट करन ह # -3 + i # त र क णम त य र प म । हम इस कर सकत ह, ल क न च क यह ट र ग क पस द द त र क ण म स एक नह ह, इसल ए यह थ ड अध क अज ब ह ।

# - -3 + i | = sqrt {3 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {10} #

हम द सर चत र थ श म ह और व य त क रम स पर शर ख क म ख य म ल य च थ चत र थ श ह ।

# क ण (-3 + i) = प ठ {आर क} प ठ {ट न} (1 / {- 3}) + 180 ^ सर #

# -3 + i = sqrt {10} text {स आईएस} (ट क स ट {आर क} ट क स ट {ट न} (1 / {- 3}) + 180 ^ सर क) #

ड म इवर इस तरह स एक फ र म पर बह त अच छ तरह स क म नह करत ह, हम म लत ह

# (-3 + i) ^ 3 = sqrt {10 ^ 3} प ठ {स आईएस} (3 (प ठ {आर क} प ठ {तन}} (1 / {- 3}) + 180 ^ सर क) #

ल क न हम फ स नह रह ह । च क प रत प दक क वल ह #3# हम ट र पल ए गल फ र म ल क स थ ऐस कर सकत ह । चल हम म ल न र तर क ण क क ल कर

# प रत = क ण (-3 + i) #

ड म इवर द व र, # (-3 + i) ^ 3 = (sqrt {10} text {cis} थ ट) ^ 3 = 10sqrt {10} (cos (3theta) + i sin (3 थ ट) #

हम ज नत ह

# # cos थ ट = -3 / वर गर ट {10}, क व ड प प थ ट = 1 / वर गर ट {10} #

#cos (3 थ ट) = 4 cos ^ 3 थ ट - 3 cos थ ट = 4 (-3 / sqrt {10}) ^ 3 - 3 (- 3 / sqrt {10}) = - (9 sqrt (10)) / 50 #

#sin (3 थ ट) = 3 प प थ ट - 4 प प ^ 3 थ ट = 3 (1 / sqrt {10}) - 4 (1 / sqrt {10}) ^ 3 = (13 sqrt (10)) / 50 #

# (-3 + i) ^ 3 = 10 वर गम टर {10} (वर गर ट {10} / 50) (-9 + 13 i) = -18 +26 i #

ऐस लगत ह क स र फ क य ब ग क त लन म बह त अध क क म ह # (- 3 + i): #

# (-3 + i) (- 3 + i) (- 3 + i) = (- 3 + i) (8 -6i) = -18 + 26 i quad sqrt #

ठ क ह, चल समस य करत ह:

{{(2 + 2i) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(sqrt {3} + i) ^ {10}} #

# = {(2 sqrt {2} text {cis} 45 ^ circ) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(2 text {cis} 30 ^ circ) ^ {10} } #

# = ({2 ^ 5 sqrt {2 ^ 5}} / 2 ^ 10) { text {cis} (5 cdot 45 ^ circ)} / { text {cis} (10 cdot 30 ^ circ)} (- 3 + i) ^ 3 #

# = (sqrt {2} / 8) { text {cis} (225 ^ circ)} / { text {cis} (300 ^ circ)} (-3 + i) ^ 3 #

# = (sqrt {2} / 8) text {cis} (225 ^ circ - 300) (-3 + i) ^ 3 #

# = (sqrt {2} / 8) (-18 +26 i) text {cis} (- 75 ^ सर #)

ऊ, यह कभ सम प त नह ह त ह । हम म ल

#cos (-75 ^ circ) = cos 75 ^ circ = cos (45 ^ circ + 30 ^ circ) = sqrt {2} / 2 (sqrt {3} / 2 - 1/2) = 1/4 (sqrt) {6} -Sqrt {2}) #

#sin (-75 ^ circ) = - (प प 45 cos 30 + cos 45 sin 30) = -sqrt {2} / 2 (sqrt {3} / 2 + 1/2) = - 1/4 (sqrt) {6} + sqrt {2}) #

{{(2 + 2i) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(sqrt {3} + i) ^ {10}} #

# = (sqrt {2} / 8) (-18 फ ट i) 1/4 ((sqrt {6} -sqrt {2}) - (sqrt {6} + sqrt {2}) i) #

# = {11 + 2 sqrt (3)} / 4 + (11 sqrt (3) - 2) / 4 i #