Y = [(1-x) ^ (1/2)] / (2x ^ 2 + 3x + 1) क स म क य ह ?

पहल हम ड म न पर व च र कर:

क स म ल य क ल ए #एक स# फ क शन क पर भ ष त क य गय ह ?

अ श करन व ल # (1-एक स) ^ (1/2) # क वल तभ पर भ ष त क य ज त ह # (1-x)> = 0 #। ज ड ज रह ह #एक स# इसक द न ओर आप प त ह #x <= 1 #.

हम भ जक क ग र-श न य ह न च ह ए।

# 2x ^ 2 + 3x + 1 = (2x + 1) (x + 1) # जब श न य ह #x = -1 / 2 # और कब #x = -1 #.

त फ क शन क ड म न ह

{{x in RR: x <= 1 और x! = -1 और x! = -1/2} #

पर भ ष त कर #f (x) = (1-x) ^ (1/2) / (2x ^ 2 + 3x + 1) # इस ड म न पर।

आइए हम ड म न म प रत य क न र तर अ तर ल पर अलग स व च र कर:

प रत य क म मल म, चल # प प ल न> 0 # एक छ ट सक र त मक स ख य ह ।

क स (ए): #x <-1 #

क बड नक र त मक म ल य क ल ए #एक स#, #F (एक स) # छ ट और सक र त मक ह ।

इस अ तर ल क द सर छ र पर, यद #x = -1 - एप स ल न # फ र

#f (x) = f (-1-एप स ल न) ~ = sqrt (2) / (((2 xx -1) +1) (- 1 - एप स ल न + 1) #

# = sqrt (2) / एप स ल न -> + oo # ज स # प प ल न -> 0 #

क ल ए #x <-1 # क स म #F (एक स) # ह # (0, + ऊ) #

म मल (ब): # -1 / 2 <x <= 1 #

#f (-1 / 2 + एप स ल न) ~ = sqrt (3/2) // ((2 (-1 / 2 + एप स ल न) + 1) (- 1/2 + 1) #

# = sqrt (3/2) / epsilon -> + oo # ज स # प प ल न -> 0 #

#f (1) = 0/1 = 0 #

क ल ए # -1 / 2 <x <= 1 # क स म #F (एक स) # ह # 0, + oo) #

म मल (c): # -1 <x <-1 / 2 #

#f (-1 + एप स ल न) ~ = sqrt (2) / (((2xx-1) + 1) (- 1 + एप स ल न + 1) #

# = -Sqrt (2) / एप स ल न -> -oo # ज स # प प ल न -> 0 #

#f (-1 / 2-एप स ल न) ~ = sqrt (3/2) / ((2 (-1 / 2-एप स ल न) + 1) (- 1/2 + 1) #

# = -Sqrt (3/2) / एप स ल न -> -oo # ज स # प प ल न -> 0 #

त द लचस प सव ल यह ह क अध कतम म ल य क य ह #F (एक स) # इस अ तर ल म । क म न ज ञ त करन क ल ए #एक स# ज सक ल ए यह व य त पन न श न य ह न क ल ए द ख ।

# घ / (DX) f (x) #

# = (1/2 (1-x) ^ (- 1/2) xx-1) / (2x ^ 2 + 3x + 1) + (((1-x) ^ (1/2) xx-1xx (2x) ^ 2 + 3x + 1) ^ (- 2) xx (4x + 3)) #

# = (-1/2 (1-x) ^ (- 1/2)) / (2x ^ 2 + 3x + 1) - (((1-x) ^ (1/2) (4x + 3)) / (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 #

# = ((-1/2 (1-x) ^ (- 1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1)) - (((1-x) ^ (1/2) (4x + 3)) / (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 #

जब अ श श न य ह ग त यह श न य ह ग, इसल ए हम हल करन च ह ग:

# -1 / 2 (1-x) ^ (- 1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1) - (((1-x) ^ (1/2) (4x + 3)) = 0 #

क म ध यम स ग ण कर # 2 (1-एक स) ^ (1/2) # ल न:

# - (2x ^ 2 + 3x + 1) -2 (1-x) (4x + 3) = 0 #

अर थ त:

# 6x ^ 2-5x-7 = 0 #

ज सक जड ह # (5 + -sqrt (25 + 4xx6xx7)) / 12 = (5 + -sqrt (194)) / 12 #

इन जड म स, #x = (5-वर गर ट (194)) / 12 # स ब ध त अ तर ल म ग रत ह ।

इस पर व पस ज ए #F (एक स) # इस अ तर ल (लगभग -10) म #f (x) क अध कतम पत लग न क ल ए।

यह म झ जट ल लगत ह । क य म न क ई त र ट क ह ?

उत तर: फ क शन क श र ण ह # (- oo, -10.58 uu 0, oo) #

क ल य #x म (-oo, -1) # #-># # आपक (0, oo) #

क ल य #x (-1, -0.5) म # #-># # (in -oo, -10.58 #

क ल य #x म (-0.5, 1 # #-># # आपक 0, oo) #