आप e ^ x * cos (x) क क स एक क त करत ह ?

उत तर:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ x / 2 (cosx + sinx) + C #

स पष ट करण:

द ब र भ ग द व र एक करण क उपय ग करन क ल ए ज रह ह ।

क ल य #u (x) और v (x) #, आईब प द व र द य ज त ह

#int uv 'dx = uv - int u'vdx #

चल #u (x) = cos (x) क त त पर य ह u '(x) = -sin (x) #

# v '(x) = e ^ x क अर थ ह v (x) = e ^ x #

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xcos (x) + र ग (ल ल) (प र ण ^ xsin (x) dx) #

अब ल ल शब द पर आईब प क उपय ग कर ।

#u (x) = sin (x) क त त पर य ह u '(x) = cos (x) #

# v '(x) = e ^ x क अर थ ह v (x) = e ^ x #

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xcos (x) + e ^ xsin (x) - प र ण ^ xcos (x) dx #

अभ न न क एक स थ सम ह द:

# 2int e ^ xcos (x) dx = e ^ x (cos (x) + प प (x)) + C #

इसल य

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ x / 2 (cosx + sinx) + C #

चल # म = क ¥ ^ xcosxdx #

हम प रय ग करत ह, भ ग द व र एक करण क न यम # = intuvdx = uintvdx-int (du) / dxintvdx dx #.

हम ल त ह, # u = cosx, और, v = e ^ x #.

इसल य, # (du) / dx = -sinx, और, intvdx = e ^ x #। इसल ए, # I = e ^ xcosx + inte ^ xsinxdx = e ^ xcosx + J, J = inte ^ xsinxdx #.

ढ ढ न क ल ए # J #, हम एक ह न यम ल ग करत ह, ल क न, अब, क स थ # य = sinx #, &, # V = ई ^ x #, हम म ल,

# ज = ई ^ xsinx-क ¥ ^ xcosxdx = ई ^ xsinx-म #.

इसम उप #म #, हम र प स ह, # म = ई ^ xcosx + ई ^ xsinx-म #, अर थ त।, # 2I = ई ^ x (cosx + sinx) #, य, # म = ई ^ x / 2। (Cosx + sinx) #.

गण त क आन द ल ।

उत तर:

# ई ^ x / 2 (cosx + sinx) + स #.

स पष ट करण:

चल # I = e ^ xcosxdx, और, J = inte ^ xsinxdx #

आईब प क उपय ग करन #; intuvdx = uintvdx-int (du) / dxintvdx dx #, स थ म,

# u = cosx और, v = e ^ x #, हम म ल, # म = ई ^ xcosx-प र ण क (-sinx) ई ^ xdx = ई ^ xcosx + क ¥ ^ xsinxdx #, अर थ त।, # म = ई ^ xcosx + J rArr I-J = e ^ xcosx …. …………….. (1) #

फ र स आईब प द व र, म # J # हम म ल, # ज = ई ^ xsinx-क ¥ ^ xcosx #इस प रक र, # J = e ^ xsinx-I rArr J + I = e ^ xsinx …………….. (2) #

क स लझ न #(1) & (2)# क ल य # आई और ज #, हम र प स ह, # I = e ^ x / 2 (cosx + sinx) + C, और, J = e ^ x / 2 (sinx-cosx) + K #

गण त क आन द ल ।