आज ञ द न सबस छ ट प र ण क 378 भ जक क स थ। यद N = 2 ^ a xx 3 ^ b xx 5 ^ c xx 7 ^ d, NN म {a, b, c, d} क म न क य ह ?

उत तर:

# (ए, ब, स, ड) = (6, 5, 2, 2) #

# एन = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19,051,200 #

स पष ट करण:

एक स ख य द # उपलब ध नह # म ख य क रक क स थ #n = p_1 ^ (Alpha_1) p_2 ^ (Alpha_2) … p_k ^ (alp_k) #क प रत य क भ जक # उपलब ध नह # र प क ह # P_1 ^ (beta_1) p_2 ^ (beta_2) … p_k ^ (beta_k) # कह प {0, 1, …, अल फ _आई} # म _ब ट । ज स वह ह # Alpha_i + 1 # प रत य क क ल ए व कल प # Beta_i #क व भ जक क स ख य # उपलब ध नह # द व र द य गय ह

# (Alpha_1 + 1) (alpha_2 +1) … (alpha_k + 1) = prod_ (i = 1) ^ कश म र (alpha_i +1) #

ज स # N = 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ घ #क व भ जक क स ख य # N # द व र द य गय ह # (a + 1) (b + 1) (c + 1) (d + 1) = 378 #। इस प रक र, हम र लक ष य ख जन ह #(ऐ ब स ड)# ऐस ह क उपर क त उत प द रखत ह और # 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ घ # न य नतम ह । ज स क हम कम स कम कर रह ह, हम आग इस ब द स म न ल ग #a> = b> = c> = घ # (यद ऐस नह ह त, त हम एक ह स ख य म व भ जक क स थ कम पर ण म प र प त करन क ल ए घ त क स व प कर सकत ह)।

न ट क य क # 378 = 2xx3 ^ 3xx7 #, हम उन स भ व त म मल पर व च र कर सकत ह ज नम #378# च र प र ण क क उत प द क र प म ल ख ज त ह # k_1, k_2, k_3, k_4 #। हम य द खन क ल ए न र क षण कर सकत ह क क सक ल ए कम स कम पर ण म उत पन न ह त ह # N #.

प र र प: # (k_1, k_2, k_3, k_4) => (a, b, c, d) => 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d #

# (2, 3, 3 ^ 2, 7) => (8, 6, 2, 1) => ~ 3.3xx11 ^ 7 #

# (2, 3, 3, 3 * 7) => (20, 2, 2, 1) => ~ 1.7xx10 ^ # #

# र ग (ल ल) ((3, 3, 2 * 3, 7) => (6, 5, 2, 2) => ~ 1.9xx10 ^ 7) #

# (3, 3, 3, 2 * 7) => (13, 2, 2, 2) => ~ 9.0xx11 ^ 7 #

# (1, 3, 2 * 3 ^ 2, 7) => (17, 6, 2, 0) => ~ 2.4xx10 ^ 9 #

हम यह र क सकत ह, क य क आग क क छ म मल ह ग #k_i> = 27 #, द रह ह # 2 ^ a> = 2 ^ 26 ~~ 6.7xx10 ^ 7 #, ज पहल स ह हम र सबस अच छ म मल स अध क ह ।

उपर क त क र य द व र, तब, #(ऐ ब स ड)# ज न य नतम उत प दन करत ह # N # स थ म #378# भ जक ह # (ए, ब, स, ड) = (6, 5, 2, 2) #, द रह ह # एन = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19,051,200 #