त न प र ण क क वर ग क य ग 324 ह । प र ण क क स प त ह ?

उत तर:

व श ष ट धन त मक प र ण क क स थ एकम त र सम ध न ह #(2, 8, 16)#

सम ध न क प र स ट ह:

#{ (0, 0, +-18), (+-2, +-8, +-16), (+-8, +-8, +-14), (+-6, +-12, +-12) }#

स पष ट करण:

हम इस ब त पर व च र करक अपन आप क बच सकत ह क क न-क न स फ र म स क व यर ल त ह ।

अगर # उपलब ध नह # एक अज ब प र ण क ह # एन = 2k + 1 # क छ प र ण क क ल ए # कश म र # तथ:

# n ^ 2 = (2k + 1) ^ 2 = 4 (k ^ 2 + k) + 1 #

ध य न द क यह प रपत र क एक अज ब प र ण क ह # 4P + 1 #.

इसल ए यद आप द व षम प र ण क क वर ग क ज ड त ह, त आपक हम श फ र म क प र ण क म ल ग # 4k + 2 # क छ प र ण क क ल ए # कश म र #.

ध य न द क #324 = 4*81# र प क ह # 4k #, नह # 4k + 2 #.

इसल ए हम यह अन म न लग सकत ह क त न प र ण क भ सम न ह न च ह ए।

प र ण क म सम ध न क एक स म त स ख य ह # एन ^ 2> = 0 # क स भ प र ण क क ल ए # उपलब ध नह #.

ग र-नक र त मक प र ण क म सम ध न पर व च र कर । हम अ त म ऋण त मक प र ण क व ल व र ए ट क ज ड सकत ह ।

म न ल ज ए क सबस बड प र ण क ह # उपलब ध नह #, फ र:

# 324/3 = 108 <= n ^ 2 <= 324 = 18 ^ 2 #

इसल ए:

# 12 <= n <= 18 #

अन य द प र ण क क वर ग क स भ व त य ग क पर ण मस वर प:

#324 - 18^2 = 0#

#324 - 16^2 = 68#

#324 - 14^2 = 128#

#324 - 12^2 = 180#

इन म ल य म स प रत य क क ल ए # कश म र #, म न ल ज ए क सबस बड श ष प र ण क ह # म टर #। फ र:

# k / 2 <= m ^ 2 <= k #

और हम आवश यकत ह # K-m ^ 2 # एक आदर श वर ग ह न ।

इसल ए हम सम ध न प त ह:

#(0, 0, 18)#

#(2, 8, 16)#

#(8, 8, 14)#

#(6, 12, 12)#

त व श ष ट धन त मक प र ण क क स थ एकम त र सम ध न ह #(2, 8, 16)#

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 2 ^ 2 3 ^ 4 = w ^ 2 #

यह द ख न आस न ह # एक स, व ई # तथ # Z # बन न भ च ह ए # x = 2m_x + 1, y = 2m_y + 1 # तथ # Z = 2m_z # हम र प स ह

# 4m_x ^ 2 + 4m_x + 4m_y ^ 2 + 4m_y + 4m_z ^ 2 + 2 = 4xx 3 ^ 4 # य

# 2m_x ^ 2 + 2m_x + 2m_y ^ 2 + 2m_y + 2m_z ^ 2 + 1 = 2 xx 3 ^ 4 # ज ब त क ह ।

इसल ए हम अभ स व च र कर ग

# m_x ^ 2 + m_y ^ 2 + m_z ^ 2 = 3 ^ 4 #

अब पहच न पर व च र कर रह ह

# ((एल ^ 2 + म टर ^ 2-एन ^ 2) / n) ^ 2 + (2L) ^ 2 + (2m) ^ 2 = ((एल ^ 2 + म टर ^ 2 + n ^ 2) / n) ^ 2 #

स थ म # एल, एम, एन # मनम न सक र त मक प र ण क और बन न

# {(m_x = (l ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2) / n), (m_y = 2l), (m_z = 2m), (m_w = (l ^ 2 + m ^ 2 + ^ ^ 2) / n):} # ------ 1

हम र प स ह

# l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2 = 3 ^ 2 n # य क ल ए हल कर रह ह # उपलब ध नह #

#n = 1/2 (9pm sqrt (9 ^ 2-4 (l ^ 2 + m ^ 2)) #

इसल ए व यवह र यत क ल ए हम आवश यकत ह

# 9 ^ 2-4 (एल ^ 2 + म टर ^ 2) = प 2 ^ # य

# 9 ^ 2-प ^ 2 = 4 (एल ^ 2 + एम ^ 2) = क य #

क ल ए # प = {} 1,2,3,4,5,6,7,8 # हम र प स ह ग

#q = {80,77,72,65,56,45,32,17} # इसल ए स भव ह # क ष # कर रह ह

#q_f = {80,72,56,32} # इसल य #q बर बर 0 mod 4 #

इसल ए हम ढ ढन ह ग

# 4 (l_i ^ 2 + m_i ^ 2) = q_i # य

# l_i ^ 2 + m_i ^ 2 = 1/4 q_i = ब र q_i = {20,18,900,8} #

यह ज स क हम आस न स सत य प त कर सकत ह, एकम त र सम ध न क ल ए ह

# L_1 = 2, m_1 = 4 # इसल य

# l_1 ^ 2 + m_1 ^ 2 = ब र q_1 #

और इसक पर ण मस वर प # n_1 = {4,5} #

और प रत स थ पन 1 म हम म लत ह

# n_1 = 4 rArr {(m_x = 1), (m_y = 4), (m_z = 8):} #

# n_1 = 5 rArr {(m_x = -1), (m_y = 4), (m_z = 8):} #

सम ध न द रह ह

# {(x = 2m_x = 2), (y = 2m_y = 8), (z = 2m_z = 16):} #