क य sqrt21 व स तव क स ख य , पर म य स ख य , स प र ण स ख य , प र ण क, अपर म य स ख य ह ?

उत तर:

यह एक अपर म य स ख य ह और इसल ए व स तव क ह ।

स पष ट करण:

आइए हम पहल यह स ब त करत ह #sqrt (21) # एक व स तव क स ख य ह, व स तव म, सभ सक र त मक व स तव क स ख य ओ क वर गम ल व स तव क ह । अगर #एक स# एक व स तव क स ख य ह, फ र हम सक र त मक स ख य ओ क ल ए पर भ ष त करत ह #sqrt (x) = "sup" {yinRR: y ^ 2 <= x} #। इसक मतलब ह क हम सभ व स तव क स ख य ओ क द खत ह # Y # ऐस ह क # Y ^ 2 <= एक स # और इन सभ म स सबस बड व स तव क स ख य ल # Y #तथ कथ त, सर व च च। नक र त मक स ख य क ल ए, य # Y #सभ व स तव क स ख य ओ क ल ए म ज द नह ह, क य क इस स ख य क वर ग क एक सक र त मक स ख य म ल य ज त ह, और सभ सक र त मक स ख य ए नक र त मक स ख य ओ स बड ह त ह ।

सभ सक र त मक स ख य ओ क ल ए, हम श क छ ह त ह # Y # यह शर त फ ट ब ठत ह # Y ^ 2 <= एक स #, अर थ त #0#। इसक अल व, इन न बर क ल ए एक ऊपर स म ह, अर थ त # X + 1 #, अगर क ब द स # 0 <= y <1 #, फ र # X + 1> y #, अगर #Y> = 1 #, फ र #Y <= y ^ 2 <= एक स #, इसल ए # X + 1> y #। हम द ख सकत ह क व स तव क स ख य ओ क प रत य क ब ध ह ए ग र ख ल स ट क ल ए, हम श एक अद व त य व स तव क स ख य ह त ह ज एक सर व च च क र प म क र य करत ह, तथ कथ त प र णत क क रण # आरआर #। त सभ सक र त मक व स तव क स ख य ओ क ल ए #एक स# एक असल ह #sqrt (एक स) #। हम इस म मल म भ द ख सकत ह #sqrt (x) ^ 2 = एक स #, ल क न जब तक आप म झ च हत ह, म यह यह स ब त नह कर ग । अ त म हम ध य न द क #sqrt (एक स)> = 0 #, जबस #0# एक स ख य ह ज पहल स बत ई गई शर त क प र करत ह ।

क अत र क कत क ल ए अब #sqrt (21) #। यद यह तर कह न (तर कस गत) नह थ, त हम इस ल ख सकत ह #sqrt (21) = एक / b # स थ म #ए# तथ # B # प र स ख य और # A / b # ज तन स भव ह उतन सरल क त, ज सक अर थ ह #ए# तथ # B # इसक स व य क ई आम भ जक नह ह #1#। अब इसक मतलब ह क # 21 = एक ^ 2 / b ^ 2 #.

अब हम प र क त क स ख य ओ क अभ ज य ग णनख ड न मक क छ क उपय ग करत ह । इसक अर थ ह क हम प रत य क सक र त मक प र स ख य क अभ ज य स ख य ओ क अन ठ उत प द क र प म ल ख सकत ह । क ल य #21# य ह #3*7# और क सक ल ए #ए# तथ # B # यह क छ मनम न उत प द ह # एक = a_1 * … * a_n # तथ # B = b_1 * … * b_m #। तथ य यह ह क क वल आम भ जक #ए# तथ # B # ह #1# इस तथ य क बर बर ह #ए# तथ # B # उनक क रक म क ई अपर ध स झ न कर, इसल ए ह # A_i # तथ # B_j # ऐस ह क # A_i = b_j #। इस क मतलब ह क # एक ^ 2 # तथ # B ^ 2 # इसक ब द स क स भ तरह क प र इम श यर न कर # एक ^ 2 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n # तथ # B ^ 2 = b_1 * b_1 * … b_m * b_m #, इसल ए क एकम त र आम भ जक ह # एक ^ 2 # तथ # B ^ 2 # ह #1#। जबस # एक ^ 2 = 21b ^ 2 #, इसक मतलब ह क # B ^ 2 = 1 #, इसल ए # B = 1 #। इसल य #sqrt (21) = एक #। ध य न द क यह क वल इस ध रण क तहत ह क #sqrt (21) # तर कस गत ह ।

अब हम न श च त र प स सभ प र ण सक र त मक स ख य ओ क त लन म छ ट स द ड सकत ह #21# और ज च कर क क य च कत करत ह #21#, ल क न यह एक उब ऊ तर क ह । इस और अध क र चक तर क स करन क ल ए, हम फ र स अपन primes क ओर म ड त ह । हम ज नत ह क # एक ^ 2 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n # तथ #21=3*7#, इसल ए # 3 * 7 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n #। ब ई ओर, प रत य क प र इम क वल एक ब र ह त ह, द ह न ह थ पर, प रत य क प र इम कम स कम द ब र ह त ह, और हम श एक सम न र श ह त ह (यद # A_1 = a_n # यह कम स कम च र ब र ह त ह । ल क न ज स क हमन कह ह, य म ख य क रक अद व त य ह, इसल ए यह सह नह ह सकत ह । इसल य # 21nea ^ 2 #, इसल ए #anesqrt (21) #, ज सक अर थ ह क हम र पहल क ध रण #sqrt (21) # तर कस गत ह न गलत ह, इसल ए गलत ह #sqrt (21) # तर कह न ह ।

ध य न द क क स भ सक र त मक प र ण स ख य क ल ए एक ह तर क ह #एक स# एक म ख य क रक क स थ, जह एक प र इम म कई ब र असम न स ख य ह त ह, क य क एक प र स ख य क वर ग म हम श अपन सभ प रम ख क रक ह त ह ज एक सम न म त र म ह त ह । इसस हम यह न ष कर ष न क लत ह क यद #एक स# एक सक र त मक प र स ख य ह (#x inNN #) क एक प रम ख क रक ह ज क वल असम न म त र म ह त ह, #sqrt (एक स) # तर कह न ह ग ।

म झ पत ह क यह प रम ण थ ड ल ब लग सकत ह, ल क न यह गण त क महत वप र ण अवध रण ओ क उपय ग करत ह । स भवत क स भ ह ई स क ल प ठ यक रम म, इस तरह क तर क श म ल नह ह (म 100% स न श च त नह ह, म झ द न य क प रत य क ह ई स क ल क प ठ यक रम नह पत ह), ल क न व स तव क गण तज ञ क ल ए, स म न क स ब त करन एक ह सबस महत वप र ण गत व ध य व करत ह । इसल ए म आपक द ख न च हत थ क च ज क वर गम ल ल न क प छ क स तरह क गण त ह । आपक इसस द र ज न क आवश यकत ह, क य यह व स तव म ह #sqrt (21) # एक अपर म य स ख य ह ।