उत तर:
# 1 / 2arctan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #
स पष ट करण:
त यह हम अभ न न ह:
# 1 / / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #
और द व घ त प रस पर क क र प स लगत ह क त र क णम त य प रत स थ पन यह क म कर ग । त प न क ल ए पहल वर ग क प र कर:
# x ^ 2-2x + 2 = (x-1) ^ 2 + 1 #
फ र प रत स थ पन ल ग कर #u = x-1 # र ख क न क लन क ल ए:
# (ड) / ड एक स = 1 #
#rrr du = dx #
इसल ए हम ब न क स अव छ त प रभ व क चर क स रक ष त र प स बदल सकत ह:
# 1 / / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #
# = int 1 / ((x-1) ^ 2 +1) ^ 2 dx #
# - = int 1 / (u ^ 2 + 1) ^ 2 du #
अब, यह एक त र क णम त य प रत स थ पन क न ष प द त करन क ल ए आदर श र प ह; # य ^ 2 + 1 # प इथ ग र यन पहच न क स झ व द त ह # 1 + tan ^ 2theta = sec ^ 2theta #, इसल ए हम प रत स थ पन ल ग करत ह #u = त त य # हर क सरल बन न क ल ए:
# (ड) / (ड ट ए) = स क ड ^ 2 थ ट #
#rrr du = sec ^ 2 थ ट d थ ट #
त अभ न न बन ज त ह:
# 1 / (स क ड ^ 2 थ ट) ^ 2 * स क ड ^ 2 थ ट ड थ ट #
# = int 1 / (sec ^ 2 थ ट) d थ ट #
# - = int cos ^ 2 थ ट d थ ट #
अब, हम डबल-ए गल फ र म ल क उपय ग करत ह # क य क # इस म रक क अध क प रब धन य बन न क ल ए:
#cos (2+ta) = 2cos ^ 2 थ ट - 1 #
# त र ह पर ^ 2 थ ट = 1/2 (क स (2 थ ट) + 1) #
फ र उस अभ न न म ड ल:
# 1/2 int cos (2 थ ट) + 1 d थ ट #
# = 1/2 (थ ट + 1/2 प प (2 थ ट)) + c # (और इसक ल ए डबल-ए गल फ र म ल क स थ फ र स ख लन # प प #)
# = 1/2 थ ट + 1 / 2sinthetacostheta + c #
अभ व, # x-1 = u = tan थ ट #
# अरत र थ ट = अर कतन (x-1) #
# 1 + (x-1) ^ 2 = स क ड ^ 2 थ ट #
#rrr cos थ ट = 1 / sqrt (x ^ 2 - 2x +2) #
# एसट थ ट = तन थ ट * क स थ ट #
#rrr प प थ ट = (x-1) / (sqrt (x ^ 2 + 2x + 2) #
#:. sintheta * costheta = (x-1) / (x ^ 2-2x + 2) #
अ त म, इस ब द पर आन:
# 1 / / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #
# = 1 / 2arctan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #
