Sqrt (x ^ 2 + 4x) dx क क स एक क त कर ?

उत तर:

#int sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + C #

स पष ट करण:

च क क वल एक स न पटन आस न ह #एक स# एक वर गम ल क तहत, हम वर ग क प र करत ह:

# X ^ 2 + 4 एक स = (x + 2) ^ 2 + K #

# X ^ 2 + 4 एक स = एक स ^ 2 + 4x + 4 + K #

# K = -4 #

# X ^ 2 + 4 एक स = (x + 2) ^ 2-4 #

#int sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx #

अब हम त र क णम त य प रत स थ पन करन क आवश यकत ह । म ह इपरब ल क ट र गर फ क श स क उपय ग करन ज रह ह (क य क स क डर इ ट ग रल आमत र पर बह त अच छ नह ह त ह)। हम न म नल ख त पहच न क उपय ग करन च हत ह:

# स ट ^ 2 (थ ट) -1 = स ह ^ 2 (थ ट) #

ऐस करन क ल ए, हम च हत ह # (X + 2) ^ 2 = 4cosh ^ 2 (थ ट) #। हम हल कर सकत ह #एक स# हम क स प रत स थ पन क आवश यकत ह:

# X + 2 = 2cosh (थ ट) #

# एक स = 2cosh (थ ट) -2 #

क स ब ध म एक क त करन क ल ए # थ ट #, हम क व य त पन न द व र ग ण करन ह #एक स# इसक स ब ध म # थ ट #:

# dx / (dta) = 2sinh (थ ट) #

#int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx = int sqrt ((2cosh (थ ट)) ^ 2-4) * 2sinh (थ ट) d थ ट # #

# = 2int sqrt (4cosh ^ 2 (थ ट) -4) * sinh (थ ट) d थ ट = 2int sqrt (4 (cosh ^ 2 (थ ट) -1)) * sinh (थ ट) d थ ट = #

# = 2 * sqrt (4) int sqrt (cosh ^ 2 (थ ट) -1) * sinh (थ ट) d थ ट = #

अब हम पहच न क उपय ग कर सकत ह # स ट ^ 2 (थ ट) -1 = स ह ^ 2 (थ ट) #:

# = 4int sqrt (sinh ^ 2 (थ ट)) * sinh (थ ट) d थ ट = 4int sinh ^ 2 (थ ट) d थ ट #

अब हम पहच न क उपय ग करत ह:

# स ह ^ 2 (थ ट) = 1/2 (स ट (2theta) -1) #

# 4 / 2int cosh (2theta) -1 d थ ट = int 2cosh (2theta) d थ ट -2% = #

हम इसक ल ए एक स पष ट य -प रत स थ पन कर सकत ह # 2cosh (2theta) #, ल क न यह बह त स पष ट ह क जव ब ह #sinh (2theta) #:

# = स ह (2theta) -2theta + स #

अब हम प रत स थ पन क प र ववत करन क आवश यकत ह । हम हल कर सकत ह # थ ट # ल न:

# थ ट = स ट ^ -1 ((x + 2) / 2) #

यह द त ह:

#sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + स #