आप n = 1 स n = oo क ल ए य ग 1 / (n + sqrt (n)) क ल ए स म त लन पर क षण क उपय ग क स करत ह ?

उत तर:

#sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrt (एन)) # व चलन, इस इसक त लन करक द ख ज सकत ह #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) #.

स पष ट करण:

च क यह श र खल सक र त मक स ख य ओ क य ग ह, इसल ए हम य त एक अभ सरण श र खल ख जन क आवश यकत ह #sum_ (n = 1) ^ (ऊ) a_n # ऐस ह क #a_n> = 1 / (n + sqrt (एन)) # और यह न ष कर ष न क लत ह क हम र श र खल अभ स र ह, य हम एक अलग श र खल ख जन क जर रत ह #a_n <= 1 / (n + sqrt (एन)) # और हम र श र खल क र प म अच छ तरह स व चलन ह ।

हम न म नल ख त ट प पण करत ह:

क ल य

#N> = 1 #, #sqrt (एन) <= n #.

इसल य

# N + sqrt (एन) <= 2n #.

इसल ए

# 1 / (n + sqrt (एन))> = 1 / (2n) #.

च क यह सर वव द त ह #sum_ (n = 1) ^ oo1 / एन # ग त ख र, त #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) # क र प म अच छ तरह स, अगर यह ह ग अभ सरण, तब # 2sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) = sum_ (n = 1) ^ oo1 / एन # क र प म अच छ तरह स अभ सरण ह ग, और यह म मल नह ह ।

अब त लन पर क षण क उपय ग करत ह ए, हम द खत ह क #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrt (एन)) # diverges।

स म त लन पर क षण द श र खल ल त ह, # Suma_n # तथ # Sumb_n # कह प #a_n> = 0 #, # B_ngt0 #.

अगर #lim_ (nrarroo) a_n / b_n = एल # कह प #L> 0 # और पर म त ह, त य त द न श र खल अभ सरण य द न श र खल व चलन।

हम करन द न च ह ए # A_n = 1 / (n + sqrtn) #द ए गए श र खल स अन क रम। एक अच छ # B_n # पस द ह क अत यध क शक त सम र ह ह # A_n # क र प म # उपलब ध नह # बड ह ज त ह । त चल # B_n = 1 / एन #.

ध य न द क # Sumb_n # व चलन (यह ह र म न क श र खल ह)।

त, हम द खत ह क #lim_ (nrarroo) a_n / b_n = lim_ (nrarroo) (1 / (n + sqrtn)) / (1 / एन) = lim_ (nrarroo) n / (n + sqrtn) #। द व र व भ ज त करक ज र ह # N / n #, यह बन ज त ह #lim_ (nrarroo) 1 / (1 + 1 / sqrtn) = 1/1 = 1 #.

च क स म ह #1#, ज ह #>0# और पर भ ष त, हम द खत ह क # Suma_n # तथ # Sumb_n # द न क व चलन य अभ सरण ह ग । च क हम पहल स ह ज नत ह # Sumb_n # व चलन, हम यह न ष कर ष न क ल सकत ह # Suma_n = sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrtn) # क र प म अच छ तरह स बदलत ह ।