उत तर:
4 क उत तर ह # ई ^ -2 #.
स पष ट करण:
यह समस य ह:
#lim_ (x-> ऊ) ((2x + 2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #
अब यह एक कठ न समस य ह । सम ध न बह त स वध न प टर न म न यत म न ह त ह । आपक इसक पर भ ष य द ह सकत ह # ई #:
# ई = lim_ (य > ऊ) (1 + 1 / u) ^ य ~~ 2.718 … #
अगर हम स म क फ र स ल ख सकत ह त पर भ ष क कर ब क छ ह # ई #, हम अपन जव ब द ग । त, चल यह क श श करत ह ।
ध य न द क #lim_ (x-> ऊ) ((2x + 2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) # क बर बर ह:
#lim_ (x-> ऊ) ((2x + 4-2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #
हम भ न न क इस तरह व भ ज त कर सकत ह:
#lim_ (x-> ऊ) ((2x + 4) / (2x 4) -2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #
# = Lim_ (x-> ऊ) (1-2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #
हम वह पह च रह ह ! चल क रक ब हर एक #-2# ऊपर और न च स:
#lim_ (x-> ऊ) (1-2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #
# = Lim_ (x-> ऊ) (1 + ((- 2)) / (- 2 (-x-2))) ^ (2x + 2) #
# -> lim_ (x-> ऊ) (1 + (रद द (-2)) / (रद द (-2) (- x-2))) ^ (2x + 2) #
# = Lim_ (x-> ऊ) (1 + 1 / (- एक स 2)) ^ (2x + 2) #
हम प रत स थ पन ल ग कर # य = -x-2-> एक स = -2-य #:
#lim_ (x-> ऊ) (1 + 1 / (- एक स 2)) ^ (2x + 2) #
# = (1 + 1 / u) ^ (2 (-2-य) + 2 #
# = (1 + 1 / य) ^ (- 4-2u +2) #
# = (1 + 1 / य) ^ (- 2U -2) #
घ त क क ग ण कहत ह: # X ^ (ए + ब) = x ^ क ल ह ड ^ b #
इसल ए #lim_ (x-> ऊ) (1 + 1 / य) ^ (- 2U -2) # क बर बर ह:
#lim_ (x-> ऊ) (1 + 1 / य) ^ (- 2U) (1 + 1 / य) ^ (- 2) #
घ त क क ग ण क भ कहन ह क: # X ^ (ab) = एक स ^ (एक ^ ख) #
इसक मतलब ह क यह आग घटत ह:
#lim_ (x-> ऊ) (1 + 1 / य) ^ ((य) ^ (- 2)) (1 + 1 / य) ^ (- 2) #
# = Lim_ (x-> ऊ) (1 + 1 / य) ^ ((य) ^ (- 2)) lim_ (x-> ऊ) (1 + 1 / य) ^ (- 2) #
पर भ ष स, #lim_ (x-> ऊ) (1 + 1 / u) ^ (य) = ई #; और द सर स म प द व र पर प रत यक ष प रत स थ पन क उपय ग कर:
#lim_ (x-> ऊ) (1 + 1 / य) ^ (- 2) #
# = 1 / (1 + 1 / ऊ) ^ (2) #
#=1/(1+0)^(2)#
#=1/1^(2)=1#
त सम ध न ह …
#lim_ (x-> ऊ) (1 + 1 / य) ^ ((य) ^ (- 2)) lim_ (x-> ऊ) (1 + 1 / य) ^ (- 2) #
# = (ई) ^ - 2 (1) #
# = ई ^ -2 #
