इ ट x ^ lnx क क स एक क त कर ?

उत तर:

#int x ^ ln (x) dx = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C #

स पष ट करण:

हम एक य -प रत स थ पन क स थ श र करत ह # य = ln (x) #। हम तब क व य त पन न स व भ ज त करत ह # य # क स ब ध म एक क त करन क ल ए # य #:

# (ड) / dx = 1 / एक स #

#int x ^ ln (x) dx = int x * x ^ u du #

अब हम इसक हल न क लन क जर रत ह #एक स# क अन स र # य #:

# य = ln (x) #

# एक स = ई ^ य #

#int x * x ^ u du = int e ^ u * (e ^ u) ^ u du = int e ^ (u ^ 2 + u) du #

आप अन म न लग सकत ह क यह एक प र थम क व र ध व य त पन न नह ह, और आप सह ह ग । ह ल क हम क ल पन क त र ट फ क शन क ल ए फ र म क उपय ग कर सकत ह, #erfi (एक स) #:

#erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2) dx #

इस र प म हम र अभ न न क प र प त करन क ल ए, हम क घटक म क वल एक च कत चर ह सकत ह # ई #, इसल ए हम वर ग क प र करन क आवश यकत ह:

# य ^ 2 + u = (य + 1/2) ^ 2 + K #

# य ^ 2 + य = य ^ 2 + य + 1/4 + K #

# कश म र = -1 / 4 #

# य ^ 2 + u = (य + 1/2) ^ 2-1 / 4 #

#int e ^ (u ^ 2 + u) du = int e ^ ((u + 1/2) ^ 2-1 / 4) du = e ^ (- 1/4) int e ^ ((u + 1/2) ^ 2) du #

अब हम इसक स थ एक य -प रत स थ पन प श कर सकत ह # ट = य + 1/2 #। व य त पन न बस ह #1#, इसल ए हम सम म न क स थ एक क त करन क ल ए क छ व श ष करन क आवश यकत नह ह # ट #:

#e ^ (- 1/4) int e ^ (t ^ 2) dt = e ^ (- 1/4) * sqrtpi / 2int 2 / sqrtpie ^ (t ^ 2) dt = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2 * erfi (ट) + स #

अब हम प र प त करन क ल ए सभ प रत स थ पन क प र ववत कर सकत ह:

#E ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (य + 1/2) + C = ई ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + स #