Sqrt (9-x ^ 2) क अभ न न अ ग क य ह ?

जब भ म इस तरह क क र य क द खत ह, म पहच नत ह (बह त अभ य स करक) क आपक यह एक व श ष प रत स थ पन क उपय ग करन च ह ए:

#int sqrt (9-x ^ 2) dx #

#x = 3sin (u) #

यह एक अज ब प रत स थ पन क तरह लग सकत ह, ल क न आप यह द खन ज रह ह क हम ऐस क य कर रह ह ।

#dx = 3cos (य) ड #

अभ न न म हर जगह बदल:

#int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * 3cos (u) ड #

हम अभ न न स 3 ल सकत ह:

# 3 * int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * cos (u) du #

# 3 * int sqrt (9-9 स न ^ 2 (य)) * क स (य) ड #

आप 9 क क रक बन सकत ह:

# 3 * int sqrt (9 (1-प प ^ 2 (u)) * cos (u) du #

# 3 * 3int sqrt (1-प प ^ 2 (य)) * क स (य) ड #

हम पहच न ज नत ह: # cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

अगर हम हल कर # Cosx #, हम म ल:

# cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x #

#cosx = sqrt (1-प प ^ 2x) #

यह वह ह ज हम अभ न न म द खत ह, इसल ए हम इस बदल सकत ह:

# 9 int cos ^ 2 (u) du #

ह सकत ह क आप इस एक म ल र गव र ध क र प म ज नत ह, ल क न यद आप ऐस नह करत ह, त आप इसक पत लग सकत ह:

हम पहच न क उपय ग करत ह: # cos ^ 2 (u) = (1 + cos (2u)) / 2 #

# 9 int (1 + cos (2u)) / 2 du #

# 9/2 int 1 + cos (2u) du #

# 9/2 (int 1du + int cos (2u) du) #

# 9/2 (u + 1 / 2sin (2u)) + C # (आप इस प रत स थ पन द व र क म कर सकत ह)

# 9/2 u + 9/4 प प (2u) + C #

अब, हम बस इतन करन ह # य # सम र ह म । आइए द ख क हमन इस क स पर भ ष त क य:

#x = 3sin (u) #

# एक स / 3 = प प (य) #

ल न # य # इसम स, आपक उलट क र य करन क आवश यकत ह # प प # द न तरफ, यह ह # Arcsin #:

# कर क (x / 3) = आर क स न (प प (य)) #

# वर ग न (x / 3) = u #

अब हम इस अपन सम ध न म सम म ल त करन क आवश यकत ह:

# 9/2 आर क स न (x / 3) + 9/4 प प (2arcsin (x / 3)) + C #

यह अ त म सम ध न ह ।