आप द ए गए अ तर ल पर f क प र ण अध कतम और प र ण न य नतम म न क स प त ह : f (t) = t sqrt (25-t ^ 2) [-1, 5] पर?

उत तर:

Reqd। अत यध क म ल य ह # -25 / 2 और 25/2 #.

स पष ट करण:

हम प रत स थ पन क उपय ग करत ह # t = 5sx, t -1,5 # म .

न र क षण कर क यह प रत स थ पन अन म य ह, क य क, # t म -1,5 rArr -1 <= t <= 5rrr -1 <= 5sinx # = "#

#rrr -1/5 <= sinx <= 1 #, ज सक स म अच छ ह # प प # मज । ह #-1,1#.

अभ व, #F (ट) = tsqrt (25-ट ^ 2) = 5sinx * sqrt (25-25sin ^ 2x) #

# = 5sinx * 5cosx = 25sinxcosx = 25/2 (2sinxcosx) = 25 / 2sin2x #

जबस, # -1 <= sin2x <= 1 rArr -25/2 <= 25 / 2sin2x <= = 2%

#rrr -25/2 <= f (t) <= 25/2 #

इसल ए, reqd। अत व द ह # -25 / 2 और 25/2 #.

उत तर:

व य त पन न क स क त स फ क शन क एकरसत क पत लग ए और न र णय ल क क न स स थ न य अध कतम / न य नतम सबस बड, सबस छ ट ह ।

प र ण अध कतम ह:

#F (3,536) = 12,5 #

प र ण न य नतम ह:

#F (-1) = - 4.899 #

स पष ट करण:

#F (ट) = tsqrt (25-ट ^ 2) #

सम र ह क व य त पन न:

#F '(ट) = sqrt (25-ट ^ 2) + ट * 1 / (2sqrt (25-ट ^ 2)) (25-ट ^ 2)' #

#F '(ट) = sqrt (25-ट ^ 2) + ट * 1 / (2sqrt (25-ट ^ 2)) (- 2t) #

#F '(ट) = sqrt (25-ट ^ 2) आयकर ^ 2 / sqrt (25-ट ^ 2) #

#F '(ट) = sqrt (25-ट ^ 2) ^ 2 / sqrt (25-ट ^ 2) आयकर ^ 2 / sqrt (25-ट ^ 2) #

#F '(ट) = (25-ट ^ 2-ट ^ 2) / sqrt (25-ट ^ 2) #

#F '(ट) = (25-2t ^ 2) / sqrt (25-ट ^ 2) #

#F '(ट) = 2 (12.5-ट ^ 2) / sqrt (25-ट ^ 2) #

#F '(ट) = 2 (sqrt (12.5) ^ 2-ट ^ 2) / sqrt (25-ट ^ 2) #

#F '(ट) = 2 ((sqrt (12.5) आयकर) (sqrt (12.5) + ट)) / sqrt (25-ट ^ 2) #

• अ श क द हल ह:

  # T_1 = sqrt (12.5) = 3.536 #

  # T_2 = -sqrt (12.5) = - 3.536 #

  इसल ए, अ श ह:

  क ल ए नक र त मक #t in -oo, -3.536) ऊ (3.536, + ऊ) #

  क ल ए सक र त मक #t (-3.536,3.536) #

• हर हम श सक र त मक ह त ह # आरआर #, क य क यह एक वर गम ल ह ।

  अ त म, द गई स म ह #-1,5#

इसल ए, फ क शन क व य त पन न ह:

- क ल ए नक र त मक # म -1,3.536) #

- क ल ए सक र त मक #t (3.536,5) म #

इसक मतलब यह ह क ग र फ सबस पहल ऊपर स ज त ह #F (-1) # स व म र #F (3.536) # और फ र न च चल ज त ह #F (5) #। यह बन त ह #F (3.536) # प र ण अध कतम और क सबस बड म ल य #F (-1) # तथ #F (5) # प र ण न य नतम ह ।

प र ण अध कतम ह #F (3.536) #:

#F (3.536) = 3.536sqrt (25-3.536 ^ 2) = 12,5 #

प र ण अध कतम क ल ए:

#F (-1) = - 1sqrt (25 - (- 1) ^ 2) = - 4.899 #

#F (5) = 5sqrt (25-5 ^ 2) = 0 #

इसल ए, #F (-1) = - 4.899 # प र ण न य नतम ह ।

आप न च द ए गए ग र फ स द ख सकत ह क यह सच ह । बस छ ड द य क ष त र क उप क ष कर #-1# च क यह ड म न स ब हर ह:

ग र फ {xsqrt (25-x ^ 2) -14.4, 21.63, -5.14, 12.87}