त र ज य R क द ए गए व त त क 3 बर बर चक र पर व च र कर , प रत य क R क द और द सर द ए गए व त त क स पर श करन क ल ए, ज स क छ य क त क ष त र क क ष त रफल बर बर ह ?

हम इस तरह स छ य क त क ष त र क क ष त र क ल ए एक अभ व यक त बन सकत ह:

#A_ "छ य क त" = piR ^ 2 - 3 (प र ^ 2) -A_ "क द र" #

कह प #A_ "क न द र" # त न छ ट हलक क ब च छ ट ख ड क क ष त र ह ।

इसक क ष त र क पत लग न क ल ए, हम त न छ ट सफ द हलक क क द र क ज ड कर एक त र क ण बन सकत ह । च क प रत य क व त त क त र ज य ह त ह # आर #त र भ ज क प रत य क पक ष क ल ब ई ह # 2R # और त र भ ज समब ह ह इसल ए क ण ह # 60 ^ ओ # स प रत य क।

हम इस प रक र कह सकत ह क मध य क ष त र क क ण इस त र भ ज क क ष त रफल ह ज व त त क त न क ष त र क ह । त र क ण क ऊ च ई बस ह #sqrt ((2r) ^ 2-r ^ 2) = sqrt (3) r ^ #, त त र क ण क क ष त र ह # 1/2 * आध र * ऊ च ई = 1/2 * 2r * sqrt (3) r = sqrt (3) r ^ # 2.

इस त र भ ज क भ तर त न व त त ख ड क क ष त र अन व र य र प स एक सर कल क आध ह स स क सम न क ष त र ह (क ण ह न क क रण # 60 ^ ओ # प रत य क, य #1/6# एक व त त, इसल ए हम इन क ष त र क क ल क ष त रफल क घट सकत ह # 1/2 प र ^ 2 #.

अ त म, हम क द र क ष त र क क ष त र क ल ए क म कर सकत ह #sqrt (3) r ^ 2-1 / 2pir ^ 2 = r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2 # #

इस प रक र हम र म ल अभ व यक त पर व पस ज रह ह, छ य क त क ष त र क क ष त र ह

# प र ^ 2-3pir ^ 2-r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

उत तर:

#A = r ^ 2 (1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3)) #

स पष ट करण:

आइए सफ द व त त क एक त र ज य द # R = 1 #। क द र एक समब ह त र भ ज बन त ह #2#। प रत य क म झल / ऊ च ई ह #sqrt {3} # इसल ए एक श र ष स स ट म टर क द र ह # 2/3 sqrt {3} #.

क द रक व हद व त त क क द र ह, इसल ए बड व त त क क द र और छ ट व त त क क द र क ब च क द र ह । हम थ ड त र ज य ज ड त ह # R = 1 # ल न

# आर = 1 + 2/3 वर गम टर {3} #

हम ज स क ष त र क तल श करत ह वह बड व त त क क ष त र ह ज समब ह त र भ ज और श ष कम ह #5/6# प रत य क छ ट घ र म ।

#A = pi R ^ 2 - 3 (5/6 pi r ^ 2) - sqrt {3} / 4 (2r) ^ 2 #

#A = pi (1 + 2/3 sqrt {3}) ^ 2 - 3 (5/6 pi) - sqrt {3} #

#A = 1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3) #

हम प म न स # आर ^ 2 # स म न य र प म ।