उत तर:
# int_0 ^ (प आई / 4) (प प x + क स x) / (3 + प प 2x) dx = 0.2746530521 #
स पष ट करण:
म र सम ध न स म पसन क न यम, अन म न स त र द व र ह
# int_a ^ b y * dx ~ = #
# ज / 3 (y_0 4 * y_1 + 2 * y_2 4 * y_3 + 2 * y_4 + ….. 4 * y_ (n-1) + y_n) #
कह प # ज = (ख-एक) / एन # तथ # B # ऊपर स म और #ए# न चल स म
तथ # उपलब ध नह # क ई भ स ख य (बड ब हतर)
म न च न
# एन = 20 #
द य ह आ # B = pi / 4 # तथ # एक = 0 #
# ज = (pi / 4-0) / 20 = अन करण य / 80 #
यह क स गणन करन क ल ए ह । स प रत य क # y = (sin x + cos x) / (3 + sin 2x) # व भ न न म ल य क उपय ग कर ग
क ल य # Y_0 #
# X_0 = (अ + 0 * ज) = (0 + 0 * pi / 80) = 0 #
# y_0 = (प प x_0 + cos x_0) / (3 + प प 2x_0) #
# y_0 = (प प (0) + cos (0)) / (3 + sin 2 (0)) #
#color (ल ल) (y_0 =.3333333333333) #
क ल य # 4 * y_1 #
# X_1 = (अ + 1 * ज) = (0 + 1 * pi / 80) = अन करण य / 80 #
# 4 * y_1 = 4 * (प प x_1 + cos x_1) / (3 + प प 2x_1) #
# 4 * y_1 = 4 * (प प (pi / 80) + cos (pi / 80)) / (3 + sin (2 (pi / 80)) # #
#color (ल ल) (4 * y_1 = 1.3493618978936) #
क ल य # 2 * y_2 #
# X_2 = (अ + 2 * ज) = (0 + 2 * pi / 80) = 2 * pi / 80 #
# 2 * y_2 = 2 * (प प x_2 + cos x_2) / (3 + प प 2x_2) #
# 2 * y_2 = 2 * (प प ((2pi) / 80) + cos ((2pi) / 80)) / (3 + sin 2 ((2pi) / 80) # #
#color (ल ल) (2 * y_2 =.68138682514816) #
क ल य # 4 * y_3 #
# X_3 = (अ + 3 * ज) = (0 + 3 * pi / 80) = 3 * pi / 80 #
# 4 * y_3 = 4 * (प प x_3 + cos x_3) / (3 + प प 2x_3) #
# 4 * y_3 = 4 * (प प ((3pi) / 80) + cos ((3pi) / 80)) / (3 + sin 2 ((3pi) / 80) # #
#color (ल ल) (4 * y_3 = 1.3738977832468) #
क ल य # 2 * y_4 #
# X_4 = (एक 4 * ज) = (0 4 * pi / 80) = 4 * pi / 80 #
# 2 * y_4 = 4 * (प प x_4 + cos x_4) / (3 + प प 2x_4) #
# 2 * y_4 = 4 * (प प ((4pi) / 80) + cos ((4pi) / 80)) / (3 + sin 2 ((4pi) / 80) # #
#color (ल ल) (2 * y_4 =.69151824096418) #
ब क इस प रक र ह
#color (ल ल) (4 * y_5 = 1.3904648494964) #
#color (ल ल) (2 * y_6 =.69821575035862) #
#color (ल ल) (4 * y_7 = 1.4011596185484) #
#color (ल ल) (2 * y_8 =.70242415421322) #
#color (ल ल) (4 * y_9 = 1.4076741205702) #
#color (ल ल) (2 * y_10 =.70489632049832) #
#color (ल ल) (4 * y_11 = 1.4113400771087) #
#color (ल ल) (2 * y_12 =.7062173920012) #
#color (ल ल) (4 * y_13 = 1.4131786935757) #
#color (ल ल) (2 * y_14 =.7068293103707) #
#color (ल ल) (4 * y_15 = 1.4139474301694) #
#color (ल ल) (2 * y_16 =.70705252678954) #
#color (ल ल) (4 * y_17 = १.४१४१७९३५२२०९) #
#color (ल ल) (2 * y_18 =.70710341105534) #
#color (ल ल) (4 * y_19 = 1.4142131417552) #
#color (ल ल) (y_20 =.35355339059328) #
इन सभ क य ग #color (ल ल) ("र श " = २०.९,८१,९४,७६२) #
# int_0 ^ (प आई / 4) (प प x + क स x) / (3 + प प 2x) dx = (एच / 3) * "य ग" #
# int_0 ^ (प आई / 4) (प प x + क स x) / (3 + प प 2x) dx = ((प आई / 80) / 3) * 20.98194762 #
# int_0 ^ (प आई / 4) (प प x + क स x) / (3 + प प 2x) dx = र ग (ल ल) (0.2746530521) #
एक व कल प यह ह क जब जट ल एक करण अध क सट क म ल य क स थ उत पन न ह त ह त बस एक ग र फ क स क लक ल टर क उपय ग कर
#color (ल ल) (=.२७४६५३०७२२) #
भगव न भल कर … म झ उम म द ह क स पष ट करण उपय ग ह ।
उत तर:
# Int_0 ^ (pi / 4) (प प (x) + cos (x)) / (3 + प प (2x)) dx = ln (3) / 4 #
स पष ट करण:
हम प रत स थ पन क उपय ग करक आग बढ ग । सबस पहल, हम क छ अलग-अलग ब जगण त क म ध यम स ज ए ग, त क एक क त क अध क व छन य र प म प र प त क य ज सक ।
# 3 + प प (2x) = 3 + 2sin (x) cos (x) #
# = 4 + 2sin (x) क स (x) - 1 #
# = 4 + 2sin (x) क स (x) - प प ^ 2 (x) -cos ^ 2 (x) #
# = 4 - (प प (x) -क स (x)) ^ 2 #
# = (2 + प प (x) - cos (x)) (2 - sin (x) + cos (x)) #
# => (प प (x) + cos (x)) / (3 + sin (2x)) = (sin (x) + cos (x)) / ((2 + sin (x) -cos (x) (2-प प (x) + cos (x))) #
# = (4 (प प (x) + cos (x))) / (4 (2 + sin (x) -cos (x)) (2-प प (x) + cos (x)) #
# = (प प (x) + cos (x)) / ४ xx #
# Xx4 / ((2 + sin (x) -cos (x)) (2-प प (x) + cos (x))) #
# = (प प (x) + cos (x)) / ४ xx #
#xx (1 / (2 + sin (x) -cos (x)) + 1 / (2-प प (x) + cos (x))) #
# = 1 / 4xx (प प (x) + cos (x)) / (2 + sin (x) -cos (x)) - 1 / 4xx (-प प (एक स) -cos (x)) / (2 प प (x) + cos (x)) #
इसक उपय ग करत ह ए, हम अभ न न क व भ ज त कर सकत ह:
# int_0 ^ (pi / 4) (प प (x) + क स (x)) / (3 + sin (2x)) dx = #
# = 1 / 4int_0 ^ (pi / 4) (प प (x) + cos (x)) / (2 + sin (x) -cos (x)) dx #
# - 1 / 4int_0 ^ (pi / 4) (- प प (x) -सर (x)) / (2-sin (x) + cos (x)) dx #
पहल अभ न न क ल ए, प रत स थ पन क उपय ग कर #u = 2 + प प (x) - cos (x) # हम द त ह #du = (sin (x) + cos (x)) dx # और एक करण क स म स बदल ज त ह #0# तथ # Pi / 4 # स व म र #1# तथ #2#। इस प रक र, हम प र प त करत ह
# 1 / 4int_0 ^ (pi / 4) (प प (x) + क स (x)) / (2 + sin (x) -cos (x)) dx = int_1 ^ 2 1 / udu #
# = 1/4 (ln | य |) _1 ^ 2 #
# = 1/4 (ln (2) -ln (1)) #
# = 1 / 4LN (2) #
द सर अभ न न क ल ए, प रत स थ पन क उपय ग कर #u = 2 - sin (x) + cos (x) # हम द त ह #du = (-sin (x) -cos (x)) dx # और एक करण क स म स बदल ज त ह #0# तथ # Pi / 4 # स व म र #3# तथ #2#। इस प रक र, हम प र प त करत ह
# -1 / 4int_0 ^ (pi / 4) (- प प (x) -स स (x)) / (2-sin (x) + cos (x)) dx = -1 / 4int_3 ^ 2 1 / udu #
# = 1 / 4int_2 ^ 3 1 / udu #
# = 1/4 (ln (3) -ln (2)) #
# = 1/4 (ln (3/2)) #
अभ न न ल ग क ल ए म ल य क प रत स थ प त करन हम हम र व छ त पर ण म द त ह:
# int_0 ^ (pi / 4) (प प (x) + cos (x)) / (3 + sin (2x)) dx = 1 / 4ln (2) + 1 / 4ln (3/2) #
# = 1/4 (ln (2) + ln (3/2)) #
# = 1 / 4LN (2 * 3/2) #
# = Ln (3) / 4 #
