उत तर:
# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #
स पष ट करण:
म न एक नय प छन क बज य इस प र न प रश न क स म न य क त क य ह । म न एक खतन प रश न क ल ए पहल भ ऐस क य थ और क छ भ ब र नह ह आ, इसल ए म श र खल ज र रखत ह ।
इसस पहल क म ब जगण त क स व यवस थ त रखन क क श श करन क ल ए म ल म एक श र ष ड ल । एक मनम न त र क ण आस न स अन व द त ह त ह और पर ण म आस न स व पस अन व द त ह त ह ।
ऑर थ स टर एक त र क ण क ऊ च ई क च र ह ह । इसक अस त त व प रम य पर आध र त ह क एक ब द पर एक त र भ ज क ऊ च ई प रत च छ द करत ह । हम कहत ह क त न ऊ च ई ह समवर त .
आइए स ब त कर क त र भ ज क ऊ च ई ओप क य समवर त ह ।
द श ओप क व क टर ह # प ओ = प = (क, ख), # ढल न कहन क स र फ एक फ स तर क ह #ब 0 ए# (ल क न द श व क टर भ जब क म करत ह # एक = 0 #)। हम न र द श क क अदल -बदल करक और यह एक क नक र कर स ध द श क व क टर प र प त करत ह #(ब 0 ए)।# ल बवत र प स श न य ड ट उत प द द व र प ष ट क ज त ह:
# (ए, ब) क ड ट (ब, ए-ए) = एब -ब ए = 0 क व ड sqrt #
ओप स क य तक क ऊ च ई क प र म ट र क सम करण इस प रक र ह:
# (x, y) = Q + t (b, -a) = (c, d) + t (b, -a) # 1 सच म # ट #
OQ स P तक क ऊ च ई सम न ह
# (x, y) = (ए, ब) + य (ड, -स) क व ड # सच म # य #
PQ क द श व क टर ह # क य प = (ग-ए, ड -ख) #। उत पत त क म ध यम स ल बवत, अर थ त प क य स ऊ च ई, इस प रक र ह
# (x, y) = v (d-b, a-c) क व ड # सच म # V #
आइए ओप और प क य स ऊ च ई क म लन क द ख:
# (स, ड) + ट (ब -ए) = व (ड -ब, ए-स) #
यह क रण ह क द अज ञ त म द सम करण ह, # ट # तथ # V #.
# स + ब ट = व (ड -ब) #
# d-at = v (a-c) #
हम पहल व ल क ग ण कर ग #ए# और द सर द व र # B #.
# एस + एब स = एव (ड -ब) #
# bd-abt = bv (ए-स) #
ज ड ज रह ह, #ac + bd = v (((d-b) + b (a-c)) = v (व ज ञ पन - ab + ab -bc) #
#v = {ac + bd} / {ad - bc} #
अ श म ड ट उत प द क स थ क ल क ल और हर म क र स उत प द।
म लन प रकल प त ऑर थ स टर ह # (एक स, व ई) #:
# (x, y) = v (d-b, a-c) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #
आइए अगल OQ और PQ स ऊ च इय क म ल । समर पत स हम बस स व प कर सकत ह #ए# स थ म #स # तथ # B # स थ म # घ #। हम पर ण म क क ल कर ग # (एक स ', व ई')। #
# (x ', y') = {ca + db} / {cb - da} (b-d, c-a) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #
हम र प स य द च र ह सम न ह, # (x ', y') = (x, y), # इसल ए हमन स ब त कर द य ह क ऊ च ई समवर त ह । #quad sqrt #
हमन आम च र ह क न मकरण क सह ठहर य ह orthocenter, और हम इसक न र द श क म ल गए ह ।
# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #
