द ख ए क आरआर म एफ सख त स बढ रह ह ?

उत तर:

स इन / व र ध भ स और एकरसत

स पष ट करण:

# च # म अलग ह # आरआर # और स पत त सत य ह # AAX ## म ## आरआर # इसल ए द गई स पत त म हम द न भ ग क अलग करत ह

#F '(f (x)) च' (x) + f '(x) = 2 # (1)

अगर # EEx_0 ## म ##RR: च '(x_0) = 0 # तब क ल ए # एक स = x_0 # (1) हम प र प त करत ह

#F '(च (x_0)) क रद द (च' (x_0)) ^ 0 + रद द (च '(x_0)) ^ 0 2 = # #<=>#

#0=2# #-># अस भव

इसल य, #F '(x)! = 0 # # ए.ए. ##एक स## म ## आरआर #

# च '# म न र तर ह # आरआर #
#F '(x)! = 0 # # ए.ए. ##एक स## म ## आरआर #

#-># # {(f '(x)> 0 ","), (f' (x) <0 ","):} # #एक स## म ## आरआर #

अगर #F '(x) <0 # फ र # च # सख त स कम ह ज एग

ल क न हम र प स ह #0<1# # <=> ^ (Fdarr) # #<=># #F (0)> च (1) # #<=>#

#0>1# #-># अस भव

इसल ए, #F '(x)> 0 #, # ए.ए. ##एक स## म ## आरआर # इसल ए # च # म सख त बढ रह ह # आरआर #

हम र प स आरआर म x @ y = ax + ay-xy, x, y ह और एक व स तव क प र म टर ह । क म न ज सक ल ए [0,1] क स थ र भ ग ह (RR, @)?

A म [१/२, १] य १ = अगर हम @ [१, १] xx [०, १] क [०, १] नक श पर च हत ह । यह द खत ह ए: x @ y = ax + ay-xy यद म प रश न क सह ढ ग स समझत ह , त हम इसक ल ए म न न र ध र त करन च हत ह : x, y म [0, 1] rarr x @ y म [0, 1] हम प त ह : 1 @ 1 = 2a-1 म [0, 1] इसल ए a [1/2, 1] ध य न द क : del / (del x) x @ y = ay "" और "" del / (del y) x @ y = क ल ह ड इसल ए x, y क अध कतम और / य न य नतम म न जब x, y म [0, 1] तब ह ग जब x, y म {0, a, 1} म न ल ज ए एक म [1/2, 1] हम प त ह : [@ 0, 1] 0 @ [a = a @ 0 = a ^ 2 in [0, 1] 0 @ 1 = 1 @ 0 = a [in [0, 1] a @ a =: एक ^ 2 म [0, 1] a @ 1 = 1 @ a ^ 2 in [0, 1] 1 @ 1 = 2a-1 in [0, 1

बत द क आरआर न व स तव क स ख य ओ क स ट क न र प त क य । सभ क र य ख ज f: RR-> RR, स त षजनक एब स (f (x) - f (y)) = 2 abs (x-y) सभ x, y RR स स ब ध त ह ?

F (x) = pm 2 x + C_0 यद अन पस थ त (f (x) -f (y)) = 2abs (x-y) त f (x) Lipschitz न र तर ह । त फ क शन f (x) ड स बल ह त ह । फ र, एब स (f (x) -f (y)) / (abs (xy)) = 2 य abs ((f (x) -f (y)) / / (xy) = 2 अब lim_ (x-) > y) एब स ((f (x) -f (y)) / (xy)) = abs (ल म_ (x-> y) (f (x) -f (y)) / (xy)) = abs f '(y)) = 2 so f (x) = pm 2 x + C_0

बत द क व और डब ल य क रमश आरआर ^ 2 (1,1) और (1,2) द व र सब सक र इब क ए गए ह । व क टर व and व और डब ल य ctors डब ल य इतन व + डब ल य = (2, v1) क पत लग ए ?

न च द ख यद व म व स व त व क व = ल बद (1,1) = (ल ब दर, ल ब ) यद डब ल य म व स व त व स डब ल य = आरएचओ (1,2) = (आरएचओ, 2 आरएचओ) एलआरड ए, आरएच म व आरस व + व स व = (lambda + rho, lambda + 2rho) = (2, -1) इस प रक र हम र प स lambda + rho = 2 lambda + 2rho = -1 एकम त र सम ध न ह lambda = 5 और rho = -3 सभ व क टर vecv = (5) ह । 5) और vecw = (- 3, -6)