बत द क आरआर न व स तव क स ख य ओ क स ट क न र प त क य । सभ क र य ख ज f: RR-> RR, स त षजनक एब स (f (x) - f (y)) = 2 abs (x-y) सभ x, y RR स स ब ध त ह ?

बत द क आरआर न व स तव क स ख य ओ क स ट क न र प त क य । सभ क र य ख ज f: RR-> RR, स त षजनक एब स (f (x) - f (y)) = 2 abs (x-y) सभ x, y RR स स ब ध त ह ?
Anonim

उत तर:

#f (x) = द पहर 2 x + C_0 #

स पष ट करण:

अगर #abs (f (x) -f (y)) = 2abs (एक स व ई) # फ र #F (एक स) # Lipschitz न र तर ह । त सम र ह #F (एक स) # अलग ह । इसक ब द, #abs (f (x) -f (y)) / (प ट (एक स-y)) = 2 #

#abs ((f (x) -f (y)) / (एक स-व ई)) = 2 # अभ व

#lim_ (x-> व ई) प ट ((f (x) -f (y)) / (xy)) = प ट (lim_ (x-> y) (f (x) -f (y)) / (xy)) एब स (f '(y)) = 2 #

इसल ए

#f (x) = द पहर 2 x + C_0 #