र म न इ ट ग रल क उपय ग करक इस हल करन ?

उत तर:

# frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} # य # # लगभग 1.302054638 … #

स पष ट करण:

अन त उत प द क स थ क स भ तरह क समस य क हल करन क ल ए न बर एक सबस महत वप र ण पहच न इस अन त र श य क समस य म पर वर त त कर रह ह:

# # prod_ {k = 1} ^ {n} a_k = a_1 * a_2 * a_3 … = e ^ {ln (a_1)} * e ^ {ln (a_2)} * e ^ {ln (a_3)}।.. #

EMPHASIS:

# = exp sum_ {k = 1} ^ {n} ln (a_k) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

ल क न, इसस पहल क हम ऐस कर सक, हम पहल सम करण म # frac {1} {n ^ 2} स न पटन च ह ए और चल अन त उत प द L:

# L = lim_ {n _ + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ { frac {1} {n}} #

# = lim_ {n _ + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} n ^ 2 (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} #

# = lim_ {n _ स + infty} frac {n ^ 2} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ _ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} = lim_ {n _ to + infty} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ _ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} #

अब हम इस अन त र श म बदल सकत ह:

# L = lim_ {n _ स + infty} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n} } = lim_ {n _ स + infty} exp sum_ {k = 1} ^ {n} ln ((1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}}) #

लघ गणक ग ण ल ग कर:

# L = lim_ {n _ स + infty} exp sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2 }) #

और स म ग ण क उपय ग करन:

# L = exp lim_ {n _ to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2 }) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

आइए अन त र श क कहत ह:

# S = lim_ {n _ + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

और ध य न रख क

# एल = एक सप (एस) #

अब आप अपन प रश न क a स पर वर त त करक हल कर र म ण ड स म क सम कलन पर भ ष त कर :

र कम न य ग क पर भ ष य द रख:

EMPHASIS:

# #__ {a} ^ {b} f (x) dx = lim_ {n _ to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} f (a + k (frac {ba}) n })) * frac {ब } {n} #

चल

# # lim_ {n _ स + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} f (a + k (frac {ba} {n})) * frac {ba} {n} = lim_ {n _ + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) = S #

अब छ ड # f (x) = ln (1 + x ^ 2) और a = 0 #

# f (k (frac {b} {n})) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

इस प रक र, ब = 1 अर थ त ।

# f (frac {k} {n}) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

इसल ए,

# S = lim_ {n _ + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

क ल ए हल # #__ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #:

भ ग द व र एक करण क उपय ग कर:

# # uv dx = u int v dx - int (u '* int vdx) dx #

चल # u = ln (1 + x ^ 2) और v = 1 #

फ र, च न न यम और प र क त क ल गर थम क व य त पन न क उपय ग कर # u '= 1 / (1 + x ^ 2) * 2x = frac {2x} {1 + x ^ 2} #

और प न क ल ए ब जल न यम क उपय ग कर: # # 1dx = x #

# # int ln (1 + x ^ 2) dx = ln (1 + x ^ 2) * x - int (frac {2x} {1 + x ^ 2} * x) dx #

# = ln (1 + x ^ 2) * x - int frac {2x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2 + 1 -1} {x ^ 2 + 1} dx # घट व न यम क प रय ग कर:

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2 + 1} {x ^ 2 + 1} - int frac {1} {x ^ 2 + 1} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int1 - int frac {1} {x ^ 2 + 1} dx #

पहल अभ न न क ल ए शक त न यम क उपय ग कर और द सर अभ न न म नक त र क णम त य फ क शन ह # अर चन (x) # (स पर श सम र ह क व ल म)

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 x - अर चन (x) #

इस प रक र, # # एएन ln (1 + x ^ 2) dx = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

अब न श च त अभ न न क ल ए हल:

# एस = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

हम ज नत ह क व र ध व य त पन न ह # F (x) = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #, इस प रक र

# एस = एफ (एक स) | _ {एक स = 0} ^ {एक स = 1} = एफ (1) - एफ (0) #

# एस = 1 एलएन (1 + 1 ^ 2) - 2 (1) + 2 आर कट क (1) - 0 + 0 - आर कट क (0) #

ध य न द क आर कट क (1) 45 ° य ह # फ र क { pi} {4} # (य द रख क द ए ल ब ई क स थ व श ष सह त र क ण 1,1 ह, # Sqrt {2} # और क ण 45 °, 45 °, 90 °) और भ # आर कटन (0) = 0 #

इस प रक र #S = ln (2) - 2 + 2 (frac { pi} {4}) = ln (2) - 2 + frac { pi} {2} #

य # # लगभग 0.263943507354 … #

# L = exp S = exp ln (2) - 2 + frac { pi} {2} = e ^ {ln (2)} * e ^ {- 2} * e ^ { frac { pi} {2}} #

# L = 2 * frac {1} {e ^ 2} * (e ^ {pi}) ^ {1/2} #

# L = frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} #

इसल ए सम ध न ह # # lim_ {n _ स + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ { frac {1} {n }} = frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} #} य # # लगभग 1.302054638 … #