Y = (sinx) ^ x क व य त पन न क य ह ?

उत तर:

# ड ई / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

स पष ट करण:

ल गर दम क भ दभ व क उपय ग कर ।

#y = (sinx) ^ x #

#lny = ln ((sinx) ^ x) = xln (sinx) # (क ग ण क उपय ग कर # Ln #)

व भ द त र प स भ न न: (उत प द न यम और श र खल न यम क उपय ग कर)

# 1 / y ड ई / dx = 1ln (sinx) + x 1 / sinx cosx #

त हम र प स:

# 1 / y ड ई / dx = ln (sinx) + x cotx #

क ल ए हल # व / dx # स ग ण करक #y = (sinx) ^ x #, # ड ई / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

उत तर:

# घ / dx (sinx) ^ एक स = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

स पष ट करण:

यह द खन क सबस आस न तर क ह:

# (Sinx) ^ एक स = ई ^ (ln ((sinx) ^ x)) = ई ^ (XLN (sinx)) #

इसक व य त पन न ल न स:

# घ / dx (sinx) ^ एक स = (घ / dxxln (sinx)) ई ^ (XLN (sinx)) #

# = (Ln (sinx) + xd / dx (ln (sinx))) (sinx) ^ x #

# = (Ln (sinx) + x (घ / dxsinx) / sinx) (sinx) ^ x #

# = (Ln (sinx) + xcosx / sinx) (sinx) ^ x #

# = (Ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

अब हम ध य न द न च ह ए क यद # (Sinx) ^ x = 0 #, #ln ((sinx) ^ एक स) # अपर भ ष त ह ।

ह ल क, जब हम फ क शन क व यवह र क व श ल षण करत ह #एक स#ज सक ल ए यह ध रण करत ह, हम प त ह क यह क र य करन क ल ए फ क शन पर य प त व यवह र करत ह, क य क, यद:

# (Sinx) ^ x # द ष ट क ण ०

फ र:

#ln ((sinx) ^ एक स) # प स ह ग # -Oo #

इसल ए:

# ई ^ (ln ((sinx) ^ x)) # स थ ह 0 अप र च कर ग

इसक अल व, हम ध य न द क अगर #sinx <0 #, #ln ((sinx) ^ एक स) # एक जट ल स ख य ह ग; ह ल क, सभ ब जगण त और क लक लस ज नक हमन जट ल व म न म भ क म क य ह, इसल ए यह क ई समस य नह ह ।

उत तर:

आम त र पर…

स पष ट करण:

# d / dx f (x) ^ g (x) = g (x) / f (x) f '(x) + g' (x) ln (f (x)) f (x) ^ g (x) #

क स स ब त कर (1 + sinx-cosx) / (1 + cosx + sinx) = tan (x / 2)?

क पय न च द ख । LHS = (1-cosx + sinx) / (1 + cosx + sinx) = (2sin ^ 2 (x / 2) + 2sin (x / 2) * cos (x / 2)) / (2cos / x / 2) 2) + 2sin (x / 2) * cos (x / 2) = (2sin (x / 2) [sin (x / 2) + cos (x / 2)] / (2cos (x / 2) * [] sin (x / 2) + cos (x / 2)] = tan (x / 2) = RHS

क य क ई इस ट र गर पहच न क सत य प त करन म मदद कर सकत ह ? (Sinx + cosx) ^ 2 / प प ^ 2x-क य क ^ 2x = प प ^ 2x-क य क ^ 2x / (sinx-cosx) ^ 2

यह न च सत य प त ह : (sinx + cosx) ^ 2 / (sin ^ 2x-cos ^ 2x) = (sin ^ 2x-cos ^ 2x) / (sinx-cosx) ^ 2 => (रद द कर (sinx + cosx) ) (sinx + cosx)) / ((sinx + cosx) (sinx-cosx)) = (sin ^ 2x-cos ^ 2x) / (sinx-cosx) ^ 2 => ((sinx-cosx) ( sinx-cosx)) ((sinx-cosx) (sinx-cosx)) = (sin ^ 2x-cos ^ 2x) / (sinx-cosx) ^ 2 => र ग (हर ) ((sin ^ 2x-cos ^) 2x) / (sinx-cosx) ^ 2) = (प प ^ 2x-क य क ^ 2x) / (sinx-cosx) ^ 2

स ब त (1 + sinx + icosx) / (1 + sinx-icosx) = sinx + icosx?

न च द ख । De Moivre क पहच न क उपय ग करन ज e ^ (ix) = cos x + i sin x हम र प स ह (1 + e ^ (ix)) / (1 + e ^ (- ix)) = e ^ (ix) (1+) e ^ (- ix)) / (१ + e ^ (- ix)) = e ^ (ix) न ट e ^ (ix) (१ + e ^ (- ix)) = (cos x + isinx) (१+) cosx-i sinx) = cosx + cos ^ 2x + isinx + sin ^ 2x = 1 + cosx + isinx य 1 + cosx + isinx = (cos x + isinx) (1 + cosx-i sinx)