आप ल बन क स थ सम तर चत र भ ज क क ष त रफल क स प त ह ?

उत तर:

सम तर चत र भ ज क ल ए #ऐ ब स ड # क ष त र ह

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) | #

स पष ट करण:

म न ल त ह क हम र सम तर चत र भ ज #ऐ ब स ड # इसक च र क न क न र द श क द व र पर भ ष त क य गय ह - # X_A, y_A #, # X_B, y_B #, # X_C, y_C #, # X_D, y_D #.

हम र सम न तर चत र भ ज क क ष त र क न र ध रण करन क ल ए, हम इसक आध र क ल ब ई क आवश यकत ह # | एब | # और ऊ च ई # | DH | # श र ष स # ड # ब त करन क ल ए # एच # ओर # एब # (अर थ त, #DH_ | _AB #).

सबस पहल, क र य क सरल बन न क ल ए, आइए इस उस स थ त म ल ज ए जब इसक श र ष #ए# न र द श क क उत पत त क स थ म ल ख त ह । क ष त र सम न ह ग, ल क न गणन आस न ह ग ।

इसल ए, हम न र द श क क न म नल ख त पर वर तन क प रदर शन कर ग:

# य = एक स-x_A #

# व = y-y_A #

फ र (# य, व #) सभ क न क न र द श क ह ग:

#A U_A = 0, V_B = 0 #

#B U_B = x_B-x_A, V_B = y_B-y_A #

#C U_C = x_C-x_A, V_C = y_C-y_A #

# द न U_D = x_D-x_A, V_D = y_D-y_A #

हम र सम न तर चत र भ ज क अब द व क टर द व र पर भ ष त क य गय ह:

# P = (U_B, V_B) # तथ # Q = (U_D, V_D) #

आध र क ल ब ई न र ध र त कर # एब # व क टर क ल ब ई क र प म # प #:

# | एब | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #

ऊ च ई क ल ब ई # | DH | # क र प म व यक त क य ज सकत ह # | ई | * प प (/ _ खर ब) #.

लम ब ई # ई # व क टर क ल ब ई ह # क ष #:

# | ई | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

क ण #/_खर ब# व क टर क स क लर (ड ट) उत प द क ल ए द अभ व यक त य क उपय ग करक न र ध र त क य ज सकत ह # प # तथ # क ष #:

# (प * क य) = U_B * U_D + V_B * V_D = | प | * | क ष | * cos (/ _ खर ब) #

क स स

# क य क ^ 2 (/ _ खर ब) = (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

# प प ^ 2 (/ _ खर ब) = 1-क य क ^ 2 (/ _ खर ब) = #

# = 1- (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) = #

# = (U_B * V_D-V_B * U_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * ((U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

अब हम क ष त र क गणन करन क ल ए सभ घटक क ज नत ह:

आध र # | एब | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #:

ऊ च ई # | DH | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) * | U_A * V_D-V_A * U_D | / sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2 #

क ष त र उनक उत प द ह:

#S = | AB | * | DH | = | U_B * V_D-V_B * U_D | #

म ल न र द श क क स दर भ म, यह इस तरह द खत ह:

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) | #

उत तर:

एक और चर च

स पष ट करण:

ज य म त य प रम ण

आक त क द खत ह ए

हम आस न स एक सम तर चत र भ ज ABCD क क ष त र क गणन क ल ए स त र स थ प त कर सकत ह, जब क ई त न क न (ए, ब, ड) कहत ह ।

च क व कर ण ब ड द सम तर त र भ ज म सम तर चत र भ ज बन त ह ।

सम तर चत र भ ज ABCD क क ष त र

= त र भ ज ABD क 2 क ष त र

= 2 ट र प ज यम BAPQ क क ष त र + ज ल BQRD क क ष त र - ज ल ड एप आर क क ष त र

=2# 1/2 (एप + BQ) प क य + 1/2 (BQ + ड आर) क य आर-1/2 (एप + ड आर) प आर #

= # (Y_A + Y_B) (X_B-X_A) + (Y_B + Y_D) (X_D-X_B) - (Y_A + Y_D) (X_D-X_A) #

=# Y_AX_B + रद द कर (Y_BX_B) -क स ल (Y_AX_A) -Y_BX_A + Y_BX_D + रद द कर (Y_DX_D) -cancel (Y_BX_B) -Y_AX_D-रद द (Y_DX_D) + रद द कर (Y_AX_A) + Y_X_D

=#Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) #

यह स त र सम तर चत र भ ज क क ष त रफल द ग ।

सद श पर व च र करन क प रम ण

इस व च र कर भ स थ प त क य ज सकत ह #vec (एब) # तथ # vec (AD) #

अभ व

ब द A क स थ त सद श w। R, म ल O नह ह, #vec (OA) = X_Ahati + Y_Ahatj #

ब द B क स थ त व क टर w.r, म ल O नह ह, #vec (OB) = X_Bhati + Y_Bhatj #

ब द D क स थ त व क टर w.r, म ल O नह ह, #vec (OD) = X_Dhati + Y_Dhatj #

अभ व

सम तर चत र भ ज ABCD क क ष त रफल

# = आध र (AD) * ऊ च ई (BE) = AD * h #

# = ई * ABsintheta = | vec (एड) Xvec (एब) | #

फ र

#vec (एड) = vec (ओवर ड र फ ट) -vec (OA) = (X_D-X_A) hati + (Y_D-Y_A) hatj #

#vec (एब) = vec (ओब) -vec (OA) = (X_B-X_A) hati + (Y_B-Y_A) hatj #

#vec (एड) #एक स#vec (एब) = (X_D-X_A) (Y_B-Y_A) - (X_B-X_A) (Y_D-Y_A) hatk #

क ष त र = # | Vec (एड) #एक स#vec (एब) | #

=# - Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D + रद द (Y_AX_A) -Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B- रद द (Y_AX_A) # |

=# - Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B | #

=# - Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B | #

=# | Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) | #

इस प रक र हम र प स एक ह स त र ह