उत तर:
# -Xe ^ (2-एक स) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + 1 + ई ^ 2 #
स पष ट करण:
अभ न न क ल ए य ग न यम क उपय ग करक श र कर और इन ह द अलग-अलग अभ न न ह स स म व भ ज त कर:
# Intxe ^ (2-x) dx + int3x ^ 2DX #
इन म न -इ ट ग रल क पहल भ ग भ ग द व र एक करण क उपय ग करक हल क य ज त ह:
चल # य = एक स -> (ड) / dx = 1-> ड = dx #
# DV = ई ^ (2-एक स) dx-> intdv = क ¥ ^ (2-एक स) dx-> v = -e ^ (2-एक स) #
अब भ ग स त र द व र एक करण क उपय ग कर # Intudv = य व intvdu #, हम र प स ह:
# Intxe ^ (2-x) dx = (x) (- ई ^ (2-x)) - प र ण क (-e ^ (2-एक स)) dx #
# = - XE ^ (2-x) + क ¥ ^ (2-x) dx #
# = - XE ^ (2-एक स) -e ^ (2-एक स) #
इनम स द सर र वर स प वर न यम क एक म मल ह, ज सम कह गय ह:
# Intx ^ NDX = (x ^ (n + 1)) / (n + 1) #
इसल ए # Int3x ^ 2DX = 3 ((एक स ^ (2 + 1)) / (2 + 1)) = 3 (एक स ^ 3/3) = एक स ^ 3 #
इसल ए, # Intxe ^ (2-x) + 3x ^ 2DX = -xe ^ (2-एक स) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + स # (एक करण क न र तरत क ज ड न य द रख !)
हम प र र भ क शर त द गई ह #F (0) = 1 #, इसल ए:
# 1 = - (0) ई ^ (2- (0)) - ई ^ (2- (0)) + (0) ^ 3 + स #
# 1 = -e ^ 2 + स #
# स = 1 + ई ^ 2 #
इस अ त म प रत स थ पन क बन त ह ए, हम अपन अ त म सम ध न प र प त करत ह:
# Intxe ^ (2-x) + 3x ^ 2DX = -xe ^ (2-एक स) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + 1 + ई ^ 2 #
