उत तर:
क स थ श र
# -1 = x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y - sec (xy) #
आइए धर मन रप क ष क एक क स इन स बदल ।
# -1 = x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y -1 / cos (xy) #
अब हम BOTH SIDES पर व य त पन न wrt x ल त ह !
# d / dx -1 = d / dx (x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y -1 / cos (xy)) #
एक स थ र क व य त पन न श न य ह और व य त पन न र ख क ह !
# 0 = d / dx (x y ^ 2) + d / dx (x ^ 2 y) - d / dx (e ^ y) -d / dx (1 / cos (xy)) #
अब हम म लन व ल पहल द शब द पर उत प द न यम क उपय ग करन !
# 0 = {d / dx (x) y ^ 2 + xd / dx (y ^ 2)} + {d / dx (x ^ 2) y + x ^ 2 d / dx y} - d / dx (e ^) y) -d / dx (१ / cos (xy)) #
श र खल न यम क स थ अगल बह त और बह त मज ! अ त म शब द द ख !
(सरल एक स ड र व ट व भ कर रह ह)
# 0 = {1 * y ^ 2 + x * (d / dy y ^ 2) * dy / dx} + {2x * y + x ^ 2 * d / dy y * dy / dx} - {d / dy e ^ y} {ड ई / dx} #
# -d / {d cos (xy)} ((cos (xy)) ^ ^ (- 1) * d / {d xy} cos (xy) * d / dx {xy} #
उन क छ y ड र व ट व स, xy ड र व ट व स और क स (xy) ड र व ट व स क करन स प र डक ट र ल और च न र ल अ त म टर म क आख र ह स स पर एक ब र और ह त ह ।
# 0 = {y ^ 2 + x * 2 * y * dy / dx} + {2xy + x ^ 2 * 1 * dy / dx} - e ^ y {dy / dx} #
# - (-1) (cos (xy)) ^ (- 2) * - sin (xy) * (dx / dx y + x dy / dy dy / dx) #
थ ड स स फ कर और सभ ड र व ट व खत म कर
# 0 = y ^ 2 + 2xy ड ई / dx + 2xy + x ^ 2 ड ई / ड एक स - ई ^ व ई ड ई / ड एक स #
# - (sin (xy) / cos ^ 2 (xy)) (y + x dy / dx) #
अब स थ म अलग ह ज त ह # Dx / ड व ई # और ब न
# 0 = y ^ 2 + 2xy - y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) + #
# 2xy ड ई / ड एक स + एक स ^ 2 ड ई / ड एक स - ई ^ व ई ड ई / ड एक स - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy) ड ई / ड एक स #
ब न हर ल आओ # व / dx # एक तरफ और द सर पर शब द क तरह स ग रह
# y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) - y ^ 2 - 2xy = #
# (2xy + x ^ 2 - e ^ y - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy)) ड ई / dx #
ह ल क ख जन क ल ए व भ ज त कर # व / dx #
# ड ई / dx = {y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) - y ^ 2 - 2xy} / {2xy + x ^ 2 - e ^ y - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy)} #
व बह त लम ब थ !
स पष ट करण:
सरल उद हरण क स थ एक बह त ल ब व य ख य क स थ गए क य क अ तर न ह त भ दभ व म श क ल ह सकत ह और श र खल न यम बह त महत वप र ण ह ।
इस और त न व श ष ट फ क शन व य त पन न क हल करन क ल ए आपक लगभग त न ब आईज क लक लस न यम क उपय ग करन क आवश यकत ह ।
1) व य त पन न क र ख कत ।
# d / dx (A + B + C + D) = d / dx (A) + d / dx (B) + d / dx (C) + d / dx (D) #
2) उत प द न यम।
# d / dx (f (x) * g (x)) = (f (x)) * d / dx g (x) + (d / dx f (x)) * g (x) #
3) अब तक, न ह त व भ द करण म सबस महत वप र ण अवध रण ह
श र खल न यम। य ग क क र य क ल ए, अन य क र य क क र य, #F (य (x)) # हम र प स ह, # d / dx (f (u (x))) = d / {du} f (u (x)) du / dx /.
आप इसक स थ ज सकत ह
# d / dx (f (u (y (x)))) = d / {du} f (u) {du} / {dy} {dy} / {dx} #, चलत रह और चलत ह रह । ध य न द # Dx / dx = 1 #.
उद हरण: यद आपक प स क स फ क शन क क र य ह #F (य) # कह प # य # क एक ह स स ह #एक स#। अर थ त #F (x) = sqrt (1-x ^ 2) # (यह #F (य) = sqrt (य) # तथ #U (x) = 1-x ^ 2 #.
# d / dx sqrt (1-x ^ 2) = d / dx (1-x ^ 2) ^ {1/2} = (d / {du} (u ^ {1/2})) * (d /) dx (1-x ^ 2)) #
# = 1/2 (u ^ {- 1/2}) * (-2x) # य द # य = (1-x ^ 2) #
# = - x (1-x ^ 2) ^ {- 1/2} = -x / {sqrt (1-x ^ 2} #
व श ष ट क र य क प रक र क ल ए अभ व यक त ।
ए) ब जल क क र य क व य त पन न ल न क ल ए क स, #f (x) = c x ^ n #.
# d / dx (c * x ^ n) = c * n * x ^ {n-1} #
ब) क स व य त पन न ल न क ल ए # ई ^ x #.
# d / dx (e ^ x) = e ^ x # <- ब र ग एह?
ग) क स व य त पन न ल न क ल ए # # cos (x) # इसल य # # आत म (x) = 1 / { cos (x)} #.
# d / dx (cos x) = - sin x #
व भ दन क न ह त करन क क ज एक चक र क तरह, x और y द न क व य त पन न wrt x और फ क शन क ल न क ल ए च न न यम क उपय ग करन ह ।
# 9 = एक स ^ 2 + y ^ 2 #
# d / dx 9 = d / dx (x ^ 2 + y ^ 2) = d / dx (x ^ 2) + d / dx (y ^ 2) #
# 0 = 2x + d / ड ई y ^ 2 * ड ई / dx #
# 0 = 2x + 2y * ड ई / dx #
# -2x = 2y * ड ई / dx #
# ड ई / ड एक स = -एक स / व ई #
