छ य क त क ष त र क क ष त रफल ज ञ त क ज ए?

उत तर:

क पय न च द ख ।

स पष ट करण:

जब हम पहल ब र एक करण द व र क ष त र क पत लग न स खत ह, त हम प रत न ध आयत क ल बवत र प स ल त ह ।

आयत क आध र ह # Dx # (म एक छ ट स बदल व #एक स#) और ऊ च इय क बर बर ऊ च ई # Y # (ऊपर वक र पर एक) कम श न य स # Y # म ल य (कम वक र पर एक)। हम फ र सबस छ ट स एक क त करत ह #एक स# सबस बड म ल य #एक स# म ल य।

इस नई समस य क ल ए, हम द ऐस इ टरग रल स (ज म एस द व र उत तर द ख) क उपय ग कर सकत ह, ल क न अपन स च क बदलन स खन बह त ह म ल यव न ह #90^@#.

हम प रत न ध आयत क क ष त ज र प स ल ग ।

आयत क ऊ च ई ह त ह # ड व ई # (म एक छ ट स बदल व # Y #) और आध र अध क स अध क #एक स# (सबस द ह न ओर व ल) श न य स कम घट #एक स# म न (सबस ब ई ओर क वक र)। हम फ र सबस छ ट स एक क त करत ह # Y # सबस बड म ल य # Y # म ल य।

द व द व क न ट स कर

# {:("ल बवत", iff, "क ष त ज"), (dx, iff, dy), ("ऊपर ", iff, "सबस द ह न "), ("न चल ", iff, "leftmost"), (x) iff, y):} #

व क य श "सबस छ ट स #एक स# सबस बड म ल य #एक स# म ल य। "इ ग त करत ह क हम ब ए स द ए एक क त करत ह । (बढ त क द श म #एक स# म न।)

व क य श "सबस छ ट स # Y # सबस बड म ल य # Y # म ल य। "इ ग त करत ह क हम न च स ऊपर तक एक क त करत ह । (बढ त क द श म # Y # म न।)

यह एक छ ट आयत क स थ इस क ष त र क तस व र द गई ह:

क ष त र ह

# int_1 ^ 2 (y-1 / y ^ 2) ड ई = 1 #

उत तर:

छ य क त क ष त र क क ष त र ह # 1 म ^ 2 #

स पष ट करण:

# X = 1 / y ^ 2 #

# Y ^ 2 = 1 / एक स #

# Y = sqrtx / एक स # (हम ग र फ स द ख सकत ह)

# Sqrtx / एक स = एक स # #<=># # X ^ 2 = sqrtx # #<=>#

# X ^ 4-x = 0 # #<=># #x (x ^ 3-1) = 0 # #<=># # X = 1 # (हम ग र फ स भ द ख सकत ह)

छ य क त क ष त र क क ष त र क व यक त करन क कई तर क म स एक त र क ण क क ष त र क र प म व यक त क य ज सकत ह # AhatOB = Ω # स य न क ष त र क छ ड कर ज स म क ल कर ग #color (स य न) (Ω_3) #

चल #Ω_1# ग र फ म द ख य गय क ल क ष त र ह और #color (हर) (Ω_2) # ग र फ म द ख य गय ह ।

छ ट त र भ ज क क ष त रफल # ChatAD = # #color (हर) (Ω_2) # ह ग:

• #color (हर) (Ω_2) = ## 1/2 * 1 * 1 = 1/2 एम ^ 2 #

# Sqrtx / एक स = 2 # #<=># # Sqrtx = 2x # #<=># # एक स = 4x ^ 2 #

#<=># # एक स = 1/4 #

क क ष त र #Ω_1# ह ग:

#int_ (1/4) ^ 1 (2-sqrtx / एक स) dx = 2 x _ (1/4) ^ 1-2 sqrtx _ (1/4) ^ 1 = #

# 2 (1-1 / 4) -2 (1-sqrt (1/4)) = 6 / 4-2 (1-1 / 2) #

# = 3 / 2-1 = 1/2 एम ^ 2 #

नत जतन, छ य क त क ष त र ह ग

• #Ω_1## + र ग (हर) (Ω_2) ## = 1/2 + 1/2 = 1 म ^ 2 #