उत तर:
स पष ट करण द ख
स पष ट करण:
चल # एक = p / q # कह प # प # तथ # क ष # सक र त मक प र ण क ह ।
# 1ltp / q # इसल य # Qltp #. # प / qlt2 # इसल य # Plt2q #। इसल य # Qltplt2q #.
# एक + 1 / एक = p / q + क ष / p = (प प) / (QP) + (qq) / (PQ) = (प ^ 2 + क ष ^ 2) / (PQ) = (प ^ 2 + 2pq + क ष ^ 2-2pq) / (PQ) = (प + क य) ^ 2 / (PQ) - (2pq) / (PQ) = (प + क य) ^ 2 / (PQ) -2 #
# (क य + क य) ^ 2 / (qq) lt (प + क य) ^ 2 / (PQ) lt (प रश न 2 + क य) ^ 2 / (2qq) #*
# (प रश न 2) ^ 2 / q ^ 2LT (प + क य) ^ 2 / (PQ) lt (प रश न 3) ^ 2 / (प रश न 2 ^ 2) #
# (प रश न 4 ^ 2) / q ^ 2LT (प + क य) ^ 2 / (PQ) lt (9q ^ 2) / (प रश न 2 ^ 2) #
# 4LT (प + क य) ^ 2 / (PQ) lt9 / 2 #
# 4-2lt (प + क य) ^ 2 / (PQ) -2lt9 / 2-2 #
# 2LT (प + क य) ^ 2 / (PQ) -2lt5 / 2 #
# 2lta + 1 / alt5 / 2 #
# 5 / 2lt6 / 2 #
# 5 / 2lt3 #
# 2lta + 1 / alt3 #
~~ आग और अध क उन नत व षय ~~
* यह म नत ह क क र प म # प # बढ त ह, # (प + क य) ^ 2 / (PQ) # बढ त ह । क ग र फ क द खकर, इस सहज र प स सत य प त क य ज सकत ह # Y = (x + क य) ^ 2 / (XQ) # पर #x (q, 2q) # क व भ न न सक र त मक म ल य क ल ए # क ष #, य न च पथर प रक र य द व र ।
~
# ड ल / (Delp) (प + क य) ^ 2 / (PQ) = 1 / qdel / (Delp) (प + क य) ^ 2 / p = 1 / q (pdel / (Delp) (p + क य) ^ 2 - (प + क य) ^ 2del / (Delp) p) / p ^ 2 = 1 / q (प 2 (प + क य) - (प + क य) ^ 2 1) / p ^ 2 = 1 / q (2p (प + क य) - (प + क य) ^ 2) / p ^ 2 = ((2p ^ 2 + 2pq) - (प ^ 2 + 2pq + क ष ^ 2)) / (प ^ प रश न 2) = (प ^ प रश न 2 ^ 2) / (प ^ प रश न 2) #.
पर #p इन (q, 2q) #:
जबस # Pgtqgt0 #, # प ^ 2gtq ^ 2 # इस प रक र # प ^ 2-क ष ^ 2gt0 #.
जबस #Q> 0 #, # प ^ 2qgt0 #
जबस # प ^ 2-क ष ^ 2gt0 # तथ # प ^ 2qgt0 #, # (प ^ प रश न 2 ^ 2) / (प ^ प रश न 2) gt0 #
जबस # ड ल / (Delp) (प + क य) ^ 2 / (PQ) = (प ^ प रश न 2 ^ 2) / (प ^ प रश न 2) # तथ # (प ^ प रश न 2 ^ 2) / (प ^ प रश न 2) gt0 #, # ड ल / (Delp) (प + क य) ^ 2 / (PQ) gt0 #
इसल य # (प + क य) ^ 2 / (PQ) # न र तर बढ रह ह # क ष # तथ # Qltplt2q # इसल य # ड ल / (Delp) (प + क य) ^ 2 / (PQ) # सक र त मक ह ।
~~~~
उत तर:
वर णन म
स पष ट करण:
यह ब ध (1):
# 1 <a <2 #
ब ध (2):
प रस पर क प रम य द व र, # 1/1> 1 / a> 1/2 #
# 1> ए> 1/2 #
ब ध म द न तरफ 1 ज ड 1, # 1 + 1 <a + 1 <2 + 1 #
# 2 <a + 1 <3 #
# र ग (ल ल) (ए + १ <३) #
एक ह ब ध म 1/2 ज ड
# (1 + 1/2) <(अ + 1/2) <(2 + 1/2) #
फ र स ध य न द, #2 <2+1/2#
इसल ए # एक + 1/2 # 2 स कम ह न च ह ए
# र ग (ल ल) (ए + १ / २) <२ #
इसल ए ब ध 2 म, # 1> ए> 1/2 #
द न पक ष पर ज ड, # 1 + ए> ए + 1 / ए> 1/2 + ए #
# 3> a + 1 / a> 2 #
# 2 <a + 1 / a <3 #
हमन ऐस इसल ए क य # एक + 1 <3 #
इसल ए # एक + 1 / एक # 3 स कम ह न च ह ए।
फ र # एक + 1/2 <2 # ल क न इस ब ध म # ए + 1 / ए + ए + 1/2 #
इसल ए, # एक + 1 / एक # 2 स अध क ह न च ह ए।
इसल य, # 1> 1 / a> 1 2 #
द न पक ष क ज ड कर, # 1 + a + a + 1 / a + 1/2 #
# 3> a + 1 / a> 2 #
# 2 <a + 1 / a <3 # स ब त
