उत तर:
# र ग (न ल) (इ ट (1 / (1 + ख ट x)) dx =) #
# र ग (न ल) (1/2 * ln ((tan ^ 2 (x / 2) +1) / (tan ^ 2 (x / 2) -2 * tan (x / 2) -1) + x / 2 + K) #
स पष ट करण:
द ए गए स #int (1 / (1 + cot x)) dx #
यद एक एक क त त र क णम त य क र य क एक तर कस गत क र य ह, त प रत स थ पन # z = ट न (x / 2) #, य इसक समकक ष
# स न x = (2z) / (1 + z ^ 2) # तथ #cos x = (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2) # तथ
# Dx = (2dz) / (1 + z ^ 2) #
सम ध न:
#int (1 / (1 + cot x)) dx #
#int (1 / (1 + cos x / sin x)) dx #
#int (प प x / (sin x + cos x)) dx #
#int ((2z) / (1 + z ^ 2)) / (((2z) / (1 + z ^ 2) + (1-z ^ 2) / ((1 + z ^ 2)) * () 2dz) / (1 + z ^ 2)) #
सरल बन ए
#int ((2z) / (1 + z ^ 2)) / (((2z) / (1 + z ^ 2) + (1-z ^ 2) / ((1 + z ^ 2)) * () 2dz) / (1 + z ^ 2)) #
#int (4z) / ((- z ^ 2 + 2z + 1) (z ^ 2 + 1)) * dz #
#int (-4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) * dz #
इस ब द पर, आ श क अ श क उपय ग कर और फ र एक क त कर
#int (-4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) * dz = int ((Az + B) / (z ^ 2 + 1) + (Cz + D) / (ज ड ^ 2-2Z -1)) dz #
हम आ श क अ श पहल करत ह
# (- 4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) = (Az + B) / (z ^ 2 + 1) + (Cz + D) / (z ^ 2- 2z -1) #
# (- 4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) = ((Az + B) (z ^ 2-2z-1) + (Cz + D) (z ^ 2) +1)) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2Z -1)) #
सम करण क द ई ओर क व स त र कर
# (- 4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) = #
# (Az ^ 3-2Az ^ 2-अज + Bz ^ 2-2Bz-ब + Cz ^ 3 + Dz ^ 2 + Cz + ड) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2Z -1)) #
सम करण स ट कर
# (0 * z ^ 3 + 0 * z ^ 2-4 * z + 0 * z ^ 0) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2Z -1)) = #
# ((ए + स) * z ^ 3 + (- 2A + ब + ड) * z ^ 2 + (- एक -2 ब + C) * z + (- ब + ड) * z ^ 0) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2Z -1)) #
सम करण ह
# A + स = 0 #
# -2A + ब + ड = 0 #
# -एक -2 ब + स = -4 #
# -B + ड = 0 #
एक स थ सम ध न क पर ण म
# एक = 1 # तथ # ब = 1 # तथ # स = -1 # तथ # ड = 1 #
अब हम एक करण कर सकत ह
#int (-4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) * dz = int ((Az + B) / (z ^ 2 + 1) + (Cz + D) / (z ^ 2-2z-1)) dz = int ((z + 1) / (z ^ 2 + 1) + (- z + 1) / (z ^ 2-2z-1)) dz = #
# 1/2 int (2z) / (z ^ 2 + 1) dz + int dz / (z ^ 2 + 1) -1 / 2int (2z-2) / (z ^ 2-2z-1) dz #
# = 1/2 * ln (z ^ 2 + 1) + tan ^ -1 z-1/2 * ln (z ^ 2-2z-1) #
# = 1/2 * ln ((z ^ 2 + 1) / (z ^ 2-2z-1)) + tan + -1 # #
हम इस उसक म ल चर म ल ट द ग #एक स# क उपय ग करत ह ए # z = ट न (x / 2) # अ त म उत तर क ल ए।
# र ग (न ल) (इ ट (1 / (1 + ख ट x)) dx =) #
# र ग (न ल) (1/2 * ln ((tan ^ 2 (x / 2) +1) / (tan ^ 2 (x / 2) -2 * tan (x / 2) -1) + x / 2 + K) #
कह प # K = # एक करण क न र तरत
भगव न भल कर … म झ उम म द ह क स पष ट करण उपय ग ह ।
