एफ और 'गणन ' अभ न न क पत लग ए ?

उत तर:

न च द ख

स पष ट करण:

# ई ^ f (x) + f '(x) + 1 = 0 #

# e ^ y + y '+ 1 = 0, qquad y = f (x) #

# y '= - 1 - e ^ y #

# (ड ई) / (1 + e ^ y) = - dx #

#z = e ^ y, qquad dz = e ^ y dy = z dy #

#int (dz) / (z (1 + z)) = - int dx #

#int dz 1 / z - 1 / (1 + z) = - int dx #

#ln (z / (1 + z)) = C - x #

# e ^ y / (1 + e ^ y) = e ^ (C - x) #

IV क उपय ग करन:

• # e ^ (C - x) = 1 / (e ^ (- y) + 1) #

• #lim_ (x स 0) y = + oo क अर थ ह C = 0 #

# e ^ y (1 - e ^ (- x)) = e ^ (- x) #

# e ^ y = e ^ (- x) / (1 - e ^ (- x)) = 1 / (e ^ x-1) #

# आपक = ln (1 / (e ^ (x) -1)) #

प रदर शन ब ट

#I = int_ (ln2) ^ 1 e ^ y (x + 1) dx #

# = - int_ (ln2) ^ 1 (1+ x) (1 + y ') dx #

# = - int_ (ln2) ^ 1 1+ x dx -color (ल ल) (int_ (ln2) ^ 1 y ' dx) - int_ (ln2) ^ 1 xy' dx #

# र ग (ल ल) (int_ (ln2) ^ 1 y ' dx) = ln (1 / (e ^ (x) -1)) _ (ln2) ^ 1 = - ln (e-1) #

#implies I - ln (e-1) = - int_ (ln2) ^ 1 1+ x dx - int_ (ln2) ^ 1 xy ' dx #

• # int_ (ln2) ^ 1 1+ x dx gt 0 #

• # int_ (ln2) ^ 1 xy ' dx gt 0 #

# ल ग म झ ln ln (e-1) #

उत तर:

#f (x) = c -x -ln (1-e ^ (c-x)) #

म अभ तक असम नत क प रदर शन नह कर सक, ल क न म न और अध क असम नत प ई।

स पष ट करण:

चल # ज (एक स) = ई ^ (एफ (एक स)) # त क, च न न यम क उपय ग कर:

#g '(x) = f' (x) e ^ (f (x)) #

ध य न द क अब:

#f (x) = ln (g (x)) #, इसल ए:

# एफ '(एक स) = (ज ' (एक स)) / (ज (एक स)) #

हम र प स म ल सम करण म प रत स थ प त:

# ज (एक स) + (ज '(एक स)) / (ज (एक स)) +1 = 0 #

और पर भ ष क अन स र # ज (एक स)> 0 #:

# (dg) / dx + g ^ 2 (x) + g (x) = 0 #

ज अलग ह:

# (dg) / dx = -g ^ 2-g #

# (dg) / (g (g + 1)) = -dx #

#int (dg) / (g (g + 1)) = -int dx #

आ श क अ श क उपय ग करत ह ए पहल सदस य क घ षण:

# 1 / (ज (ज + 1)) = 1 / ज -1 / (ज + 1) #

इसल ए:

#int (dg) / g- int (dg) / (g + 1) = -int dx #

#l g - ln (g + 1) = -x + c #

लघ गणक क ग ण क उपय ग करन:

# एलएन (ज / (ज + 1)) = - x + c #

# ज / (ज + 1) = ई ^ (स -एक स) #

अब हल कर रह ह # छ #:

# ज = ई ^ (स -एक स) (ज + 1) #

# ज (1-ई ^ (स -एक स)) = ई ^ (स -एक स) #

और अ त म:

# ज (एक स) = ई ^ (स -एक स) / (1-ई ^ (स -एक स)) #

अभ व:

#f (x) = ln (g (x)) = ln (e ^ (cx) / (1-e ^ (cx)) = ln (e ^ (cx)) -ln (1-ce ^ -x)) #

#f (x) = c -x -ln (1-e ^ (c-x)) #

हम न र ध र त कर सकत ह #स # ह लत स:

#lim_ (x-> 0) f (x) = + oo #

ज स:

#lim_ (x-> 0) c -x -ln (1-e ^ (c-x)) = c-ln (1-e ^ c) #

जब तक पर म त न ह # C = 0 #.

फ र:

#f (x) = -x-ln (1-e ^ -x) #

अब अभ न न पर व च र कर:

#int_ (ln2) ^ 1 e ^ (f (x)) (x + 1) dx = int_ (ln2) ^ 1 e ^ -x / (1-e ^ -x) (x + 1) dx #

ज स:

# d / dx (e ^ -x / (1-e ^ -x) (x + 1)) = - (x * e ^ x + 1) / (e ^ x-1) ^ 2 #

हम द ख सकत ह क एक करण क अ तर ल म फ क शन सख त स कम ह रह ह, इसल ए इसक अध कतम म ल य # एम # क ल ए ह त ह # एक स = LN2 #:

#M = (e ^ -ln2 / (1-e ^ -ln2)) (ln2 + 1) = (1/2) / (1-1 / 2) (ln2 + 1) = (ln2 + 1) #

फ र:

#int_ (ln2) ^ 1 e ^ (f (x)) (x + 1) dx <= M (1-ln2) #

#int_ (ln2) ^ 1 e ^ (f (x)) (x + 1) dx <= 1-ln ^ 2 2 #

उत तर:

यह एक और ह

स पष ट करण:

#ए)#

# ई ^ f (x) + f '(x) + 1 = 0 # # <=> ^ (* ई ^ (- f (x)) #

# 1 + एफ '(x) ई ^ (- f (x)) + ई ^ (- f (x)) = 0 # #<=>#

# -F '(x) ई ^ (- f (x)) = 1 + ई ^ (- f (x)) # #<=>#

# (ई ^ (- f (x))) '= 1 + ई ^ (- f (x)) # #<=>#

# (1 + ई ^ (- f (x))) '= 1 + ई ^ (- f (x)) ## <=> ^ (X> 0) #

इसल ए वह #स ## म ## आरआर #, # 1 + ई ^ (- f (x)) = ce ^ x #

• #lim_ (xto0) ई ^ (- f (x)) = _ (xto0, व ई -> - ऊ) ^ (- f (x) = य) lim_ (य ट -ऊ) ई ^ य = 0 #

तथ #lim_ (xto0) (- ई ^ (- f (x)) + 1) = lim_ (xto0) ce ^ x # #<=>#

# ग = 1 #

इसल ए, # 1 + ई ^ (- f (x)) = ई ^ x # #<=>#

#E ^ (- f (x)) = ई ^ एक स 1 # #<=>#

# -F (x) = ln (ई ^ एक स 1) # #<=>#

#F (x) = - ln (ई ^ एक स 1) # #color (सफ द) (एए) #, #x> 0 #

# ब ल क) #

# Int_ln2 ^ 1 (ई ^ f (x) (x + 1)) dx <##ln (ई-1) #

#F (x) = - ln (ई ^ एक स 1) #,#x> 0 #

#F '(x) = - ई ^ x / (ई ^ एक स 1) #

# -F '(x) = ई ^ x / (ई ^ एक स 1)> = (x + 1) / (ई ^ एक स 1) # क ब न ''#=#''

• # Int_ln2 ^ 1f '(x) dx> int_ln2 ^ 1 (x + 1) / (ई ^ एक स 1) dx # #<=>#

# Int_ln2 ^ 1 (x + 1) / (ई ^ एक स 1) dx <## - f (x) _ LN2 ^ 1 = -f (1) + एफ (0) = ln (ई-1) #

ह ल क हम र प स ह

# ई ^ f (x) (x + 1) = ई ^ (- ln (ई ^ एक स-1)) (x + 1) = (x + 1) / (ई ^ एक स 1) #

इसल ए, # Int_ln2 ^ 1 (x + 1) ई ^ f (x) dx <##ln (ई-1) #