अन क रम a_n = (1 + 3 / n) ^ (4n) अभ सरण य व चलन ह ?

उत तर:

# "स पष ट करण द ख " #

स पष ट करण:

#a_n = ((1 + 3 / n) ^ 4) ^ n #

# = (((1 + 3 / n) ^ 2) ^ 2) ^ n #

# = (1 + 6 / n + 9 / n ^ 2) ^ 2) ^ n #

# = (1 + 36 / n ^ 2 + 81 / n ^ 4 + 12 / n + 18 / n ^ 2 + 108 / n ^ 3) ^ n #

# = (1 + 12 / n + 54 / n ^ 2 + 108 / n ^ 3 + 81 / n ^ 4) ^ n #

# "ध य न द क आप अध क आस न स य लर क स म यह ल ग कर सकत ह:" #

#lim_ {n-> oo} (1 + 1 / n) ^ n = e = 2.7182818 …. #

# => lim_ {n-> oo} (1 + 3 / n) ^ (12 * n / 3) = e ^ 12 = 162754.79 …. #

# "त अन क रम बह त बड ह ज त ह ल क न अस म र प स बड नह ह त ह, इसल ए यह # #

# "ज ड द त ह ।" #

क य श र खल क प र तरह स अभ सरण, सशर त र प स अभ सरण य व चलन कह ज त ह ? rarr 4-1 + 1 / 4-1 / 16 + 1/64 ...

यह प र तरह स पर वर त त करत ह । न रप क ष अभ सरण क ल ए पर क षण क उपय ग कर । यद हम श र खल ओ क न रप क ष म न क ल त ह त हम श र खल 4 + 1 + 1/4 + 1/16 + प र प त ह त ह ... यह स म न य अन प त 1/4 क एक ज य म त य श र खल ह । इस प रक र यह अभ सरण ह त ह । च क द न | a_n | कनवर ज न स a_n प र तरह स कनवर ट करत ह । उम म द ह क यह मदद करत ह !

क य श र खल sum_ (n = 0) ^ infty1 / ((2n + 1)?) प र तरह स अभ सरण, सशर त र प स अभ सरण य व चलन ह ?

"इसक त लन " sum_ {n = 0} ^ oo 1 / (n!) = Exp (1) = e = 2.7182818 ... "प रत य क शब द" sum_ {n = 0} ^ oo क बर बर य उसस कम ह 1 / (n!) = Exp (1) = e = 2.7182818 ... "सभ शब द सक र त मक ह इसल ए श र खल क य ग" 0 <S <e = 2.7182818 क ब च ह .... "इसल ए श र खल ब ल क ल ह स स त। "

म न ल ज ए, a_n म न ट न ह और अभ सरण और b_n = (a_n) ^ 2। क य b_n आवश यक र प स एक ग र ह त ह ?

ह । चल l = lim_ (n -> + oo) a_n। a_n म न ट न ह इसल ए b_n भ म न ट न ह ग , और lim_ (n -> + oo) b_n = lim_ (n -> + oo) (a_n) ^ 2 = (lim_ (n -> + oo) (a_n)) ^ 2 = एल ^ 2। यह फ क शन क स थ ज स ह : यद f और g म एक स म त स म ह , त उत प द f.g क स म a पर ह ग ।