उत तर:
यह प र तरह स पर वर त त करत ह ।
स पष ट करण:
न रप क ष अभ सरण क ल ए पर क षण क उपय ग कर । यद हम श र खल प र प त करन व ल शब द क न रप क ष म न ल त ह
#4 + 1 + 1/4 + 1/16 + …#
यह स म न य अन प त क एक ज य म त य श र खल ह #1/4#। इस प रक र यह अभ सरण ह त ह । च क द न # | A_n | # converges # A_n # प र तरह स पर वर त त।
उम म द ह क यह मदद करत ह !
उत तर:
# "यह एक सरल ज य म त य श र खल ह और यह प र तरह स " # क स थ पर वर त त ह त ह # "य ग" = 16/5 = 3.2। ""
स पष ट करण:
# (1 + ए + ए ^ 2 + ए ^ 3 + …) (1-ए) = 1 ", बशर त @ ए | ए / 1" # |
# => 1 + ए + ए ^ 2 + ए ^ 3 + … = 1 / (1-ए) #
# "ल " ए = -1/4 ", त हम र प स" #
#=> 1-1/4+1/16-1/64+… = 1/(1+1/4) = 1/(5/4) = 4/5#
# "अब हम र श र खल च र ब र ह क य क पहल शब द 4 ह ।"
# "त हम र श र खल " #
#4-1+1/4-1/16+… = 4*4/5 = 16/5 = 3.2#
उत तर:
ज य म त य श र खल ब ल क ल, क स थ पर वर त त ह त ह
#sum_ (n = 0) ^ ooa_n = 16/5, sum_ (n = 0) ^ oo | a_n = 16/3 #
स पष ट करण:
यह श र खल न श च त र प स एक व कल प क श र खल ह; ह ल क, यह ज य म त य भ द खत ह ।
यद हम सभ शब द द व र स झ क ए गए स म न य अन प त क न र ध र त कर सकत ह, त श र खल फ र म म ह ग
#sum_ (n = 0) ^ OOA (आर) ^ n #
कह प #ए# पहल शब द ह और # आर # स म न य अन प त ह ।
हम उपर य क त प र र प क उपय ग करक समन क ख जन ह ग ।
स म न य अन प त न र ध र त करन क ल ए प रत य क शब द क शब द स पहल व भ ज त कर # आर #:
#-1/4=-1/4#
#(1/4)/(-1)=-1/4#
#(-1/16)/(1/4)=-1/16*4=-1/4#
#(1/64)/(-1/16)=1/64*-16=-1/4#
इस प रक र, यह श र खल स म न य अन प त क स थ ज य म त य ह # आर = -1 / 4 #, और पहल क र यक ल # एक = 4. #
हम श र खल क इस प रक र ल ख सकत ह
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (-1/4) ^ n #
एक ज य म त य श र खल क य द कर #sum_ (n = 0) ^ OOA (आर) ^ n # करन क ल ए ज ट # एक / (1-आर) # अगर # | आर | <1 #। इसल ए, यद यह अभ सरण करत ह, त हम इसक सह म ल य भ ज न सकत ह ।
यह, # | आर | = | -1/4 | = 1/4 <1 #, इसल ए श र खल अभ सरण करत ह:
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (-1/4) ^ n = 4 / (1 - (- 1/4)) = 4 / (5/4) = 4 * 4/5 = 16/5 #
अब, यह न र ध र त करत ह क क य यह प र तरह स र प तर त ह त ह ।
# A_n = 4 (-1/4) ^ n #
ब र -ब र स ऋण त मक शब द क पट ट कर:
# A_n = 4 (-1) ^ n (1/4) ^ n #
न रप क ष म न ल, ज सस व कल प क ऋण त मक पद ल प त ह ज त ह:
# | A_n | = 4 (1/4) ^ n #
इस प रक र, #sum_ (n = 0) ^ ऊ | a_n | = sum_ (n = 0) ^ oo4 (1/4) ^ n #
हम द खत ह # | आर | = 1/4 <1 #, इसल ए हम र प स अभ भ अभ सरण ह:
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (1/4) ^ n = 4 / (1-1 / 4) = 4 / (3/4) = 4 * 4/3 = 16/3 #
श र खल प र तरह स, क स थ अभ सरण करत ह
#sum_ (n = 0) ^ ooa_n = 16/5, sum_ (n = 0) ^ oo | a_n = 16/3 #
