आप int 3 * (csc (t)) ^ 2 / cot (t) dt क क स एक क त करत ह ?

उत तर:

क उपय ग # य #-स बह म लन # -3lnabs (ख ट (ट)) + स #.

स पष ट करण:

पहल ध य न द क य क #3# एक स थ र ह, हम इस सरल बन न क ल ए अभ न न स ब हर ख च सकत ह:

# 3int (स एसस ^ 2 (ट)) / ख ट (ट) ड ट #

अब - और यह सबस महत वप र ण ह स स ह - ध य न द क व य त पन न #cot (ट) # ह # -Csc ^ 2 (ट) #। क य क हम र प स एक ह अभ न न अ ग म एक फ क शन और इसक व य त पन न म ज द ह, हम एक आव दन कर सकत ह # य # इस तरह प रत स थ पन:

# य = ख ट (ट) #

# (ड) / dt = -csc ^ 2 (ट) #

# ड = -csc ^ 2 (ट) ड ट #

हम सक र त मक क र प तर त कर सकत ह # स एसस ^ 2 (ट) # इस तरह एक नक र त मक क ल ए:

# -3int (-csc ^ 2 (ट)) / ख ट (ट) ड ट #

और प रत स थ पन ल ग कर:

# -3int (ड) / u #

हम ज नत ह क #int (ड) / u = lnabs (य) + स #, इसल ए अभ न न क म ल य कन क य ज त ह । हम क वल स थ न पन न र वर स करन क आवश यकत ह और उत तर क व पस क स दर भ म रख # ट #) और स लग न कर #-3# पर ण म क ल ए। जबस # य = ख ट (ट) #, हम कह सकत ह:

# -3 (lnabs (य) + C) = - 3lnabs (ख ट (ट)) + स #

और बस यह ।

उत तर:

# 3ln | csc 2t -cot 2t | + const। = 3ln | tan t | + const! #

स पष ट करण:

# 3 int csc ^ 2 t / cot t dt = #

# = 3 int (1 / sin ^ 2 t) * (1 / (cos t / sin t)) dt #

# = 3 int dt / (sin t * cos t) #

उस य द रख

#sin 2t = 2sint * ल गत #

इसल ए

# = 3int dt / ((1/2) प प 2t) #

# = 6 स ट csc 2t * dt #

ज स क हम अभ न न क एक त ल क म प सकत ह

(उद हरण क ल ए एसओएस गण त म Csc (क ल ह ड) स अभ न न अ ग क त ल क):

#int csc ax * dx = 1 / aln | cscax-cotax | = ln | tan ((ax) / 2) | # |

हम यह पर ण म म लत ह

# = 3ln | csc2t-cot2t | + const = 3ln | tan t | + const #।