उत तर:
स म पर भ ष क ल ग करन क ब द बह त स ब जगण त कर क ढल न पर # एक स = 3 # ह #13#.
स पष ट करण:
व य त पन न क स म पर भ ष ह:
#F '(x) = lim_ (एच> 0) (च (x + ज) -f (x)) / एच #
यद हम इस स म क म ल य कन करत ह # 3x ^ 2-5x + 2 #, हम एक अभ व यक त प र प त कर ग य ग क इस सम र ह क । व य त पन न बस एक ब द पर स पर शर ख र ख क ढल न ह; इसल ए व य त पन न क म ल य कन # एक स = 3 # हम स पर शर ख र ख क ढल न द ग # एक स = 3 #.
उस न कह, चल श र कर:
#F '(x) = lim_ (एच> 0) (3 (x + ज) ^ 2-5 (x + ज) + 2 (3x ^ 2-5x + 2)) / एच #
#F '(x) = lim_ (एच> 0) (3 (एक स ^ 2 + 2HX + h ^ 2) -5x-5h + 2-3x ^ 2 + 5x -2) / एच #
#F '(x) = lim_ (एच> 0) (रद द (3x ^ 2) + 6hx + 3 ज ^ 2-रद द (5x) -5h + रद द (2) -cancel (3x ^ 2) + रद द (5x) -cancel (2)) / एच #
#F '(x) = lim_ (एच> 0) (6hx + 3 ज ^ 2-5h) / एच #
#F '(x) = lim_ (एच> 0) (रद द (ज) (6x + 3 ज -5)) / रद द (ज) #
#F '(x) = lim_ (एच> 0) 6x + 3 ज-5 #
इस स म क म ल य कन # ज = 0 #, #F '(x) = 6x + 3 (0) 5 6x--5 = #
अब जब हम र प स व य त पन न ह, त हम बस प लग इन करन क आवश यकत ह # एक स = 3 # वह स पर शर ख र ख क ढल न क ख जन क ल ए:
#F '(3) = 6 (3) -5 = 18-5 = 13 #
उत तर:
यद आपक श क षक / प ठ यप स तक उपय ग करत ह त न च द ए गए स पष ट करण अन भ ग क द ख #lim_ (xrarra) (f (x) -f (क)) / (एक स-एक) #
स पष ट करण:
क ग र फ क र ख स पर शर ख क ढल न क बच व क ल ए पथर क उपय ग क क छ प रस त त य #F (एक स) # ब द पर जह # X = एक # ह #lim_ (xrarra) (f (x) -f (क)) / (एक स-एक) # बशर त क स म म ज द ह ।
(उद हरण क ल ए ज म स स ट वर ट क 8 व स स करण गणन प ष ठ 106. प ष ठ 107 पर, वह समकक ष द त ह #lim_ (hrarr0) (च (अ + ज) -f (क)) / एच #.)
इस पर भ ष क स थ, स पर श र ख क ढल न क ग र फ क ल ए #f (x) = 3x ^ 2-5x + 2 # ब द पर जह # एक स = 3 # ह
#lim_ (xrarr3) (f (x) -f (3)) / (x-3) = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x + 2 - 3 (3) ^ 2-5 (3) 2) / (एक स 3) #
# = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x + 2-27 + 15-2) / (x-3) #
# = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x-12) / (x-3) #
ध य न द क इस स म क अन श च त र प ह #0/0# इसल य #3# अ श म बह पद क एक श न य ह ।
जबस #3# एक श न य ह, हम ज नत ह क # एक स 3 # एक क रक ह । इसल ए हम फ र स म ल य कन करन क प रय स कर सकत ह, कम कर सकत ह ।
# = lim_ (xrarr3) (रद द ((x-3))) (3x + 4)) / रद द ((x-3)) #
# = lim_ (xrarr3) (3x + 4) = 3 (3) +4 = 13 #.
स म ह #13#, त स पर श र ख क ढल न पर # एक स = 3 # ह #13#.
