X ध र क च र ओर f (x) = xe ^ -x-xe ^ (x), x [1,3] म घ मकर बन ए गए ठ स क सतह क ष त रफल क य ह ?

उत तर:

स क त न र ध र त कर, फ र भ ग द व र एक क त कर । क ष त र ह:

# एक = 39.6345 #

स पष ट करण:

आपक पत करन ह क नह #F (एक स) # म नक र त मक य सक र त मक ह #1,3#। इसल ए:

# XE ^ -x-XE ^ x #

#x (ई ^ -x-ए ^ x) #

एक स क त न र ध र त करन क ल ए, द सर क रक सक र त मक ह ग जब:

# ई ^ -x-ए ^ x> 0 #

# 1 / ई ^ x-ए ^ x> 0 #

# ई ^ x * 1 / ई ^ x-ए ^ x * ई ^ x> ई ^ x * 0 #

जबस # ई ^ x> 0 # क स क ल ए #x in -oo, + oo) # असम नत नह बदलत:

# 1-ए ^ (x + x)> 0 #

# 1-ए ^ (2x)> 0 #

# ई ^ (2x) <1 #

# lne ^ (2x) <ln1 #

# 2x <0 #

#x <0 #

जब x नक र त मक और इसक व पर त ह त फ क शन क वल सक र त मक ह । च क वह भ ए #एक स# म क रक #F (एक स) #

#F (x) = एक स (ई ^ -x-ए ^ x) #

जब एक क रक सक र त मक ह त ह, त द सर ऋण त मक ह त ह, इसल ए f (x) ह त ह हम श नक र त मक। इसल ए, क ष त र:

# एक = -int_1 ^ 3F (x) dx #

# एक = -int_1 ^ 3 (XE ^ -x-XE ^ x) dx #

# एक = -int_1 ^ 3xe ^ -xdx + int_1 ^ 3xe ^ xdx #

# एक = -int_1 ^ 3x * (- (ई ^ -x) ') dx + int_1 ^ 3x (ई ^ x)' dx #

# एक = int_1 ^ 3x * (e ^ -x) 'dx + int_1 ^ 3x (ई ^ x)' dx #

# एक = XE ^ -x _1 ^ 3-int_1 ^ 3 (एक स) 'ई ^ -xdx + x (ई ^ एक स) _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3 (एक स)' ई ^ xdx #

# एक = XE ^ -x _1 ^ 3-int_1 ^ 3E ^ -xdx + x (ई ^ एक स) _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3E ^ xdx #

# एक = XE ^ -x _1 ^ 3 - - ई ^ -x _1 ^ 3 + x (ई ^ एक स) _ 1 ^ 3 ई ^ x _1 ^ 3 #

# एक = (3E ^ -3-1 * ई ^ -1) + (e ^ -3-ए ^ -1) + (3e ^ 3-1 * ई ^ 1) - (e ^ 3E ^ 1) #

# एक = 3 / ई ^ 3-1 / ई + 1 / ई ^ 3-1 / ई + 3E ^ 3E-ए ^ 3 + ई #

# ए = 4 / ई ^ 3 -2 / ई + 2 ई ^ 3 #

क लक ल टर क उपय ग करन:

# एक = 39.6345 #

उत तर:

क ष त रफल = 11,336.8 वर ग इक ई

स पष ट करण:

द य #f (x) = xe ^ -x -xe ^ x #

स दग क ल ए चल #F (x) = y #

तथ # y = xe ^ -x -xe ^ x #

पहल व य त पन न # व ई '# सतह क ष त र क गणन म आवश यक ह ।

क ष त र # = 2pi int_1 ^ 3 y # # ड एस #

कह प # ड एस ## = sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # Dx #

क ष त र # = 2pi int_1 ^ 3 y # # वर ग (1+ (y ') ^ 2) # # Dx #

पहल व य त पन न क न र ध रण कर # व ई '#:

अ तर # y = x (e ^ -x - e ^ x) # उत प द स त र क व य त पन न क उपय ग करन

# आपक '= 1 * (e ^ -x-e ^ x) + x * (e ^ -x * (- 1) -e ^ x) #

# y '= e ^ -x - e ^ x -x * e ^ -x -x * e ^ x #

सरल करण और फ क टर ग क ब द, पर ण म ह

पहल व य त पन न # व ई '= ई ^ -x * (1-एक स) -e ^ x * (1 + x) #

अब इस क ष त र क गणन कर:

क ष त र = # 2 pi int_1 ^ 3 y # # ड एस #

क ष त र # = 2pi int_1 ^ 3 y # # वर ग (1+ (y ') ^ 2) # # Dx #

क ष त र

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ # # # Dx #

इस तरह क जट ल इ ट ग रल स क ल ए, हम स म पसन क न यम क उपय ग कर सकत ह:

त क

क ष त र

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ # # # Dx #

क ष त र = -11,336.804

इसम क र त क द श श म ल ह त क नक र त मक सतह क ष त र य सक र त मक सतह क ष त र ह सक । आइए हम क वल सक र त मक म न क ष त र = 11336.804 वर ग इक इय पर व च र कर