उत तर:
#cos (x + y) = (एक ^ 2 + b ^ 2) / 2-1 #
स पष ट करण:
सबस पहल, क य य द करत ह #cos (x + y) # ह:
#cos (x + y) = cosxcosy + sinxsiny #
ध य न द क:
# (Sinx + Siny) ^ 2 = एक ^ 2 #
# -> प प ^ 2x + 2sinxsiny + प प ^ 2y = एक ^ 2 #
तथ:
# (Cosx + आर मद यक) ^ 2 = b ^ 2 #
# -> क य क ^ 2x + 2cosxcosy + क य क ^ 2y = b ^ 2 #
अब हम र प स य द सम करण ह:
# प प ^ 2x + 2sinxsiny + प प ^ 2y = एक ^ 2 #
# क य क ^ 2x + 2cosxcosy + क य क ^ 2y = b ^ 2 #
यद हम उन ह एक स थ ज ड त ह, त हम र प स ह:
# प प ^ 2x + 2sinxsiny + प प ^ 2y + क य क ^ 2x + 2cosxcosy + क य क ^ 2y = एक ^ 2 + b ^ 2 #
इस सम करण क आक र आपक फ कन न द । पहच न और सरल करण द ख:
# (प प ^ 2x + क य क ^ 2x) + (2sinxsiny + 2cosxcosy) + (क य क ^ 2y + प प ^ 2y) = एक ^ 2 + b ^ 2 #
जबस # प प ^ 2x + क य क ^ 2x = 1 # (प यथ ग र यन पहच न) और # क य क ^ 2y + प प ^ 2y = 1 # (प यथ ग र यन पहच न), हम इस सम करण क सरल बन सकत ह:
# 1 + (2sinxsiny + 2cosxcosy) + 1 = एक ^ 2 + b ^ 2 #
# -> (2sinxsiny + 2cosxcosy) + 2 = एक ^ 2 + b ^ 2 #
हम एक क रक कर सकत ह #2# द ब र:
# 2 (sinxsiny + cosxcosy) + 2 = एक ^ 2 + b ^ 2 #
# -> 2 ((sinxsiny + cosxcosy) +1) = एक ^ 2 + b ^ 2 #
और व भ ज त कर:
# (Sinxsiny + cosxcosy) + 1 = (क ^ 2 + b ^ 2) / 2 #
और घट न:
# Sinxsiny + cosxcosy = (एक ^ 2 + b ^ 2) / 2-1 #
अ त म, जब स #cos (x + y) = cosxcosy + sinxsiny #, हम र प स ह:
#cos (x + y) = (एक ^ 2 + b ^ 2) / 2-1 #
द य ह आ
# Sinx + Siny = एक ……. (1) #
# Cosx + आर मद यक = b ……. (2) #
च कत और ज ड न (1) और (2)
# (cosx + cozy) ^ 2 + (sinx + siny) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 #
# => 2 (cosxcosy + sinxsiny) + 2 = एक ^ 2 + b ^ 2 #
# => 2cos (एक स व ई) = एक ^ 2 + b ^ 2-2 …. (3) #
(2) स च कत और घट न (1)
# (cosx + cozy) ^ 2- (sinx + siny) ^ 2 = b ^ 2-a ^ 2 #
# => 2cos (x + y) + क य क ^ 2x-प प ^ 2x + क य क ^ 2y-प प ^ 2y = b ^ 2-एक ^ 2 #
# => 2cos (x + y) + cos2x + cos2y = b ^ 2-एक ^ 2 #
# => 2cos (x + y) + 2cos (x + y) क य क (एक स y) = b ^ 2-एक ^ 2 #
# => Cos (x + y) (2 + 2cos (एक स-y)) = b ^ 2-एक ^ 2 #
(# "From (3)" 2cos (x-y) = a ^ 2 + b ^ 2-2 #)
# => Cos (x + y) (2 + b ^ 2 + एक ^ 2-2) = b ^ 2-एक ^ 2 #
# => Cos (x + y) (ख ^ 2 + एक ^ 2) = b ^ 2-एक ^ 2 #
# => Cos (x + y) = (b ^ 2-एक ^ 2) / (ख ^ 2 + एक ^ 2) #
उत तर:
#cos (x + y) = (b ^ 2-एक ^ 2) / (ख ^ 2 + एक ^ 2) #.
स पष ट करण:
# sinx + siny = a rArr 2sin ((x + y) / 2) cos ((x-y) / 2) = a ……… (1) #.
# cosx + cozy = b rArr 2cos ((x + y) / 2) cos ((x-y) / 2) = b ………. (2) #.
ड व इड ग #(1)# द व र #(2)#, हम र प स ह, #tan ((x + y) / 2) = a / b #.
अभ व, #cos (x + y) = {1-ट न ^ 2 ((x + y) / 2)} / {1 + तन ^ 2 ((x + y) / 2)} #
# = (1-एक ^ 2 / b ^ 2) / (1 + एक ^ 2 / b ^ 2) = (ख ^ 2-एक ^ 2) / (ख ^ 2 + एक ^ 2) #.
गण त क आन द ल ।
