क ल ह ड हल कर 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0?

उत तर:

एक त वर त स क च …

स पष ट करण:

द य ह आ:

# क ल ह ड 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0 "" # स थ म # ए! = 0 #

यह बह त जल द गड बड ह ज त ह, इसल ए म स र फ एक व ध क एक स क च द ग …

स ग ण कर # 256a ^ 3 # और स थ न पन न #t = (4ax + b) # फ र म क एक उद स र क षस क व र टर प न क ल ए:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = 0 #

ध य न द क च क इसक क ई क र यक ल नह ह # ट ^ 3 #, यह क रक क र प म ह न च ह ए:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = (t ^ 2-At + B) (t ^ 2 + At + C # #

# र ग (सफ द) (ट ^ 4 + प ट ^ 2 + क य ट + आर) = ट ^ 4 + (ब + स -ए ^ 2) ट ^ 2 + ए (ब -स) ट + ब स #

ग ण क क बर बर करन और थ ड प छ करन, हम र प स ह:

# {(B + C = A ^ 2 + p), (B-C = q / A), (BC = d:} #

त हम प त ह:

# (ए ^ 2 + प) ^ 2 = (ब + स) ^ 2 #

# र ग (सफ द) ((ए ^ 2 + प) ^ 2) = (ब -स) ^ 2 + 4 ब स #

# र ग (सफ द) ((ए ^ 2 + प) ^ 2) = क य ^ 2 / ए ^ 2 + 4 ड #

ग ण करन, ग ण करन # एक ^ 2 # और थ ड प छ हटत ह ए, यह बन ज त ह:

# (ए ^ 2) ^ 3 + 2 प (ए ^ 2) ^ 2 + (प ^ 2-4 ड) (ए ^ 2) -q ^ 2 = 0 #

इस "घन म # एक ^ 2 #"कम स कम एक व स तव क जड ह । आदर श र प स इसक प स एक सक र त मक व स तव क जड ह ज द स भ व त व स तव क म ल य क ल ए उपज द त ह #ए#। ब वज द, क य ब क क क ई भ र ट कर ग ।

क म ल य क द खत ह ए #ए#, हम र प स ह:

#B = 1/2 ((B + C) + (B-C)) 1/2 / (A ^ 2 + p + q / A) #

#C = 1/2 ((B + C) - (B-C)) 1/2 / (A ^ 2 + p-q / A) #

इसल ए हम हल करन क ल ए द चत ष क ण म लत ह ।