X = 1 पर र ख स पर शर ख क सम करण क य ह ?

उत तर:

#y - F (1) = 2 sqrt (6) (x - 1) #

# # एफ (1) = 1.935 "# क स थ

स पष ट करण:

#F '(x) = 2 sqrt ((2x) ^ 2 + 2x) #

# = 2 sqrt (4x ^ 2 + 2x) #

# => F '(1) = 2 sqrt (6) #

# "त हम ढल न क स थ स ध र ख क तल श कर रह ह " 2 sqrt (6) #

# "ज (1, F (1)) स ह कर ग जरत ह ।" "

# "समस य यह ह क हम F (1) क नह ज नत ह जब तक क हम गणन नह करत ह " #

# "न श च त अभ न न" #

# int_1 ^ 2 sqrt (t ^ 2 + t) "" dt #

# "हम इस अभ न न क हल करन क ल ए एक व श ष प रत स थ पन ल ग करन ह ग ।"

# "हम प रत स थ पन क स थ वह पह च सकत ह " u - t = sqrt (t ^ 2 + t) #

# => (य - ट) ^ 2 = ट ^ 2 + ट => य ^ 2 - 2 य ट + रद द (ट ^ 2) = रद द (ट ^ 2) + ट #

# => t = u ^ 2 / (1 + 2u) #

# => dt / {du} = (2u (u + 1)) / (1 + 2u) ^ 2 #

# => t ^ 2 + t = u ^ 4 / (1 + 2u) ^ 2 + u ^ 2 / (1 + 2u) = (((u + 1)) / (1 + 2u)) ^ 2 #

# => sqrt (t ^ 2 + t) = (u (u + 1)) / (1 + 2u) #

#t = 1 => u ^ 2 - 2u - 1 = 0 => u = 1 + sqrt (2) #

#t = 2 => u ^ 2 - 4 u - 2 = 0 => u = 2 + sqrt (6) #

# "(हम + स इन क स थ सम ध न ल त ह क य क " u - t = sqrt (…)> 0 ")" #

#int sqrt (t ^ 2 + t) "" dt = 2 int u ^ 2 (u + 1) ^ 2 / (1 + 2u) ^ 3 "" du #

# = 2 int (u ^ 4 + 2 u ^ 3 + u ^ 2) / (8 u ^ 3 + 12 u ^ 2 + 6 u + 1) "" du #

# = 2 int (u / 8 + 1/16) "" du - 2 int (u ^ 2/2 + u / 2 + 1/16) / (1 + 2u) ^ 3 "" du #

# = 2 (u ^ 2 + u) / 16 - 2 int (A / (1 + 2u) + B / (1 + 2u) ^ 2 + C / (1 + 2u) ^ 3) "du #

# "(आ श क अ श म व भ ज त)" #

# => ए = 1/8, ब = 0, स = -1 / 16 #

# = 2 (u ^ 2 + u) / 16 - 2 ln (! 1 + 2u |) / 16 - 2 / (64 (1 + 2u) ^ 2) #

# = (u ^ 2 + u) / 8 - ln (! 1 + 2u |) / 8 - 1 / (32 (1 + 2u) ^ 2) #

# "हम" u = 1 + sqrt (2) "और" u = 2 + sqrt (6) # क ब च क म ल य कन करत ह

# "और हम म ल य प र प त करत ह " #

# एफ (1) = 1.935 #