एक त र क ण म क न A (a, b), C (c, d), और O (0, 0) ह त ह । त र भ ज क ग ल क र व त त क सम करण और क ष त रफल क य ह ?

उत तर:

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s क व ड # कह प

# प = {ड (ए ^ 2 + ब ^ 2) - ब (स ^ 2 + ड ^ 2)} / {2 (एड-ब स)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#s = ((a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) ((a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-b c) ^ 2) #

# ए = प एस #

स पष ट करण:

म न प रश न क स म न य क त क य; चल द खत ह क क स ज त ह । म न म ल म एक श र ष छ ड द य, ज इस थ ड कम गन द बन त ह, और एक मनम न त र क ण आस न स अन व द त ह त ह ।

त र क ण न श च त र प स इस समस य क ल ए प र तरह स अपर य प त ह । पर च ल त सर कल त न ब द ओ क म ध यम स चक र ह, ज त न क न ह त ह । त र भ ज घ ल म एक आश चर यजनक उपस थ त बन त ह ।

क छ शब द वल: पर च ल त व त त क त र भ ज कह ज त ह पर व त त और इसक क द र त र क ण ह circumcenter.

क द र क स थ एक सर कल क ल ए स म न य सम करण #(प क य)# और च क र त र ज य # र # ह

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s #

और सर कल क क ष त र ह # ए = प एस।

हम र प स त न अज ञ त ह # प, क य, एस # और हम त न ब द ओ क ज नत ह, इसल ए हम त न सम करण म लत ह:

# p ^ 2 + q ^ 2 = s क व ड # क य क म ल व त त पर ह ।

# (a-p) ^ 2 + (b-q) ^ 2 = s #

# (c-p) ^ 2 + (d-q) ^ 2 = s #

आइए एक स थ सम करण क हल कर । चल ज ड क व स त र और घट न, ज ख न क ल ए र श द व र द र ख क सम करण म बदल ज त ह # प ^ 2 + क ष ^ 2 # ब ई ओर और # र # द य तरफ।

# a ^ 2 - 2ap + p ^ 2 + b ^ 2 - 2aq + q ^ 2 = s #

घट न पर

# a ^ 2 + b ^ 2 - 2ap - 2bq = 0 #

# 1/2 (^ 2 + b ^ 2) = एप + ब क #

इस तरह, # 1/2 (c ^ 2 + d ^ 2) = cp + dq #

यह क रण ह क द अज ञ त म द सम करण ह । # क ल ह ड = कश म र # सम ध न ह # X = A ^ {- 1} K. # म झ य द ह क द द म ट र क स उलट ह ज म झ नह पत ह क प र र प क स कर, #A ^ {- 1} = 1 / {ad-bc} (ढ र {d-, -b} {-c,}} #

हम र ल ए इसक मतलब ह

# प = {ड (ए ^ 2 + ब ^ 2) - ब (स ^ 2 + ड ^ 2)} / {2 (एड-ब स)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

और क एक च क र त र ज य

#s = p ^ 2 + q ^ 2 #

#s = {(d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)) ^ 2 + (a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^) 2)) ^ 2} / {4 (व ज ञ पन-ब स) ^ 2} #

#s = ((a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) ((a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-b c) ^ 2) #

क एक क ष त र ह # अन करण य # उस र श क समय।

हम द ख सकत ह क अभ व यक त अध क समम त ह ज त ह यद हम व च र करत ह क मनम न त र क ण क ल ए क य ह त ह # (ए, ब), (स, ड), (ई, एफ)। # हम न ठ क क य # एक = एक-ई, ## ब = ब -एफ, ## स = स -ई, ## ड = ड -एफ # ल क न म अब यह क म नह कर ग ।

क अ श क न ट कर ग # र # त र भ ज क भ ज ओ क त न वर ग क ल ब ई क ग णनफल ह, और हर क # र # त र भ ज क वर ग क ष त र स लह ग न ह ।

तर कस गत त र क णम त म वर ग ल ब ई क कह ज त ह quadrances और स लह ग ण वर ग क क ष त र कह ज त ह quadrea। हमन प य क पर ध क त र ज य क चत र भ ज उसक चत र भ ज द व र व भ ज त त र भ ज क चत र भ ज क ग णनफल ह ।

अगर हम क वल पर ध य त र ज य क क ष त र क आवश यकत ह, त हम यह पर ण म क स क ष प म प रस त त कर सकत ह:

पर ध क वर ग त र ज य त र क ण य वर ग क क ष त रफल स स लह ग ण व भ ज त त र भ ज क वर ग ल ब ई क ग णनफल ह ।

# r ^ 2 = {a ^ 2b ^ 2c ^ 2} / {16A ^ 2} #