सम म ल तत क ल ए पर क षण च?

उत तर:

# च # म उत तल ह # आरआर #

स पष ट करण:

हल यह म झ लगत ह

# च # म 2 ग न भ न न ह # आरआर # इसल ए # च # तथ # च '# म न र तर ह # आरआर #

हम र प स ह # (च '(x)) ^ 3 + 3F' (x) = ई ^ x + cosx + x ^ 3 + 2x + 7 #

हम द न भ ग क अलग करत ह

# 3 * (च '(x)) ^ 2f' '(x) + 3F' '(x) = ई ^ एक स-sinx + 3x ^ 2 + 2 # #<=>#

# 3F '' (x) ((च '(x)) ^ 2 + 1) = ई ^ एक स-sinx + 3x ^ 2 + 2 #

• #F '(x) ^ 2> = 0 # इसल ए #F '(x) ^ 2 + 1> 0 #

#<=># #F '' (x) = (ई ^ एक स-sinx + 3x ^ 2 + 2) / (3 ((च '(x)) ^ 2 + 1)> 0) #

हम अ श क स क त क आवश यकत ह इसल ए हम एक नए फ क शन पर व च र करत ह

#G (x) = ई ^ एक स-sinx + 3x ^ 2 + 2 # , #एक स## म ## आरआर #

#G '(x) = ई ^ एक स-cosx + 6x #

हम ग र करत ह #G '(0) = ई ^ 0-cos0 + 6 * 0 = 1-1 + 0 = 0 #

क ल य # एक स = π # #=># #G '(π) = ई ^ π-cosπ + 6π = ई ^ π + 1 + 6π> 0 #

क ल य # एक स = -π # #G '(- π) = ई ^ (- π) -cos (-π) -6π = 1 / ई ^ π + cosπ-6π = 1 / ई ^ π-1-6π <0 #

हम अ त म इस त ल क क प र प त करत ह ज क एकरसत क दर श त ह # छ #

म न # I_1 = (- ऊ, 0 # तथ # I_2 = 0, + ऊ) #

#G (I_1) = ग र म ((- ऊ, 0) = ज (0), lim_ (xrarr-ऊ) g (x)) = 3, + ऊ) #

#G (I_2) = ग र म (0, + ऊ)) = ज (0), lim_ (xrarr + ऊ) g (x)) = 3, + ऊ) #

इसल य

• #lim_ (xrarr-ऊ) ज (x) = lim_ (xrarr-ऊ) (ई ^ एक स-sinx + 3x ^ 2 + 2) #

# | Sinx | <= 1 # #<=># # -1 <= - sinx <= 1 # #<=>#

# ई ^ x + 3x ^ 2 + 2-1 <= ई ^ x + 3x ^ 2 + 2-sinx <= ई ^ x + 3x ^ 2 + 2 + 1 # #<=>#

# ई ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 <=> #

# ई ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= g (x) <= ई ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

• हम र प स न च ड / स डव च प रम य क उपय ग करन

#lim_ (xrarr-ऊ) (ई ^ x + 3x ^ 2 + 1) = + ऊ = lim_ (xrarr-ऊ) (ई ^ x + 3x ^ 2 + 3x) #

इसल ए, #lim_ (xrarr-ऊ) ज (x) = + ऊ #

• #lim_ (xrarr + ऊ) ज (x) = lim_ (xrarr + ऊ) (ई ^ एक स-sinx + 3x ^ 2 + 2) #

उस प रक र य क स थ हम सम प त ह त ह

# ई ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= g (x) <= ई ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

ह ल क, #lim_ (xrarr + ऊ) (ई ^ x + 3x ^ 2 + 1) = + ऊ = ई ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

इसल ए, #lim_ (xrarr + ऊ) ज (x) = + ऊ #

क स म # छ # ह ग:

# R_g = ग र म (D_g) = ग र म (I_1) uug (I_2) = 3, + ऊ) #

• # 0! InR_g = 3, + ऊ) # इसल ए # छ # म क ई जड नह ह # आरआर #

  # छ # म न र तर ह # आरआर # और क ई सम ध न नह ह । इसल ए, # छ # स इन इन करत ह # आरआर #

इसक मत

# {(g (x)> 0 "," xRRR), (g (x) <0 "," x:RR):} #

इस प रक र, #G (π) = ई ^ π-sinπ + 3π ^ 2 + 2 = ई ^ π + 3π ^ 2 + 2> 0 #

नत जतन #G (एक स)> 0 #, #एक स## म ## आरआर #

तथ #F '' (x)> 0 #, #एक स## म ## आरआर #

#-># # च # म उत तल ह # आरआर #

उत तर:

न च द ख ।

स पष ट करण:

द य ह आ # आपक = f (x) # वक र वक रत त र ज य द व र द गई ह

#rho = (1+ (f ') ^ 2) ^ (3/2) / (f' ') # इतन द य

# (f ') ^ 3 + 3f' = e ^ x + cosx + x ^ 3 + 2 x + 7 # हम र प स ह

# 3 (f ') ^ 2f' '+ 3f' '= e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2 # य

#f '' (1+ (f ') ^ 2) = 1/3 (e ^ x + 3x ^ 3-sinx 2 #) य

# 1 / (च '' (1 + (च ') ^ 2)) = 3 / (ई ^ x + 3x ^ 3-sinx +2) # य

#r = (1+ (f ') ^ 2) ^ (3/2) / (f' ') = (3 (1+ (f') ^ 2) ^ (5/2)) / (e ^ x) + 3x ^ 3-sinx +2) #

अब व श ल षण कर रह ह #g (x) = e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2 # हम र प स ह

#min ज (x) = 0 # क ल य # आरआर म #x इसल ए #g (x) ge 0 # और फ र म वक रत

#r = (3 (1+ (f ') ^ 2) ^ (5/2)) / (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) # पर वर तन नह करत ह इसल ए हम यह न ष कर ष न क लत ह #F (एक स) # एप ग र फ उत तल ह # आरआर #