उत तर:
स म न य र ख: # Y = (एक स-2-e ^ 4) / ई ^ 2 #। स पर शर ख: # आपक = e ^ 2x -e ^ 2 #.
स पष ट करण:
अ तर ज ञ न क ल ए: कल पन कर क फ क शन #f (x, y) = e ^ x ln (y) - xy # क छ इल क क ऊ च ई क वर णन करत ह, जह #एक स# तथ # Y # व म न म न र द श क ह और #ln (y) # प र क त क लघ गणक म न ज त ह । फ र सब # (एक स, व ई) # ऐस ह क #F (एक स, व ई) = एक # (ऊ च ई) क छ स थ र क बर बर ह त ह #ए# स तर घटत कह ज त ह । हम र म मल म न र तर ऊ च ई #ए# तब स श न य ह #F (एक स, व ई) = 0 #.
आप स थल क त क म नच त र स पर च त ह सकत ह, ज सम ब द ल इन सम न ऊ च ई क र ख ओ क दर श त ह ।
अब ढ ल # क रम f (x, y) = ((आ श क f) / (आ श क x), (आ श क f) / (आ श क x)) = (e ^ x ln (y) - y, e ^ x / y - x) # हम एक ब द पर द श द त ह # (एक स, व ई) # ज सम #F (एक स, व ई) # (ऊ च ई) सबस त ज बदलत ह । यह य त स ध ऊपर य स ध पह ड क न च ह, जब तक क हम र इल क स च र (भ न न) ह, और हम एक श र ष पर, एक तल म य एक पठ र (एक चरम ब द) पर नह ह । यह व स तव म न र तर ऊ च ई क वक र क स म न य द श ह, ज स क # (एक स, व ई) = (2, ई ^ 2) #:
#ग र ड एफ (2, ई ^ 2) = (ई ^ 2 एलएन (ई ^ 2) - ई ^ 2, ई ^ 2 / ई ^ 2 - 2) = (ई ^ 2, -1) #.
इसल ए स म न य र ख उस द श म ग जर रह ह # (2, ई ^ 2) # क र प म वर ण त क य ज सकत ह
# (x, y) = (2, e ^ 2) + s (e ^ 2, -1) #, कह प # गण त म # एक व स तव क प र म टर ह । आप खत म कर सकत ह # र # व यक त करन # Y # क एक सम र ह क र प म #एक स# अगर आप पस द करत ह, ख जन क ल ए
# Y = (एक स-2-e ^ 4) / ई ^ 2 #.
स पर शर ख द श म द श त मक व य त पन न ह न च ह ए #0# (ज सक अर थ ह क ऊ च ई नह बदलत ह), इसल ए एक स पर शर ख व क टर # (य, व) # स त ष ट ह न च ह ए
#ग र ड एफ (2, ई ^ 2) स ड न (य, व) = 0 #
# (e ^ 2, -1) cdot (u, v) = 0 #
# ई ^ 2u - v = 0 #
# V = ई ^ 2U #, कह प # स -ड ट # ड ट उत प द क मतलब ह । इसल ए # (य, व) = (1, ई ^ 2) # एक व ध व कल प ह । इसल ए स पर शर ख स ग ज र रह ह # (2, ई ^ 2) # क र प म वर ण त क य ज सकत ह
# (x, y) = (2, ई ^ 2) + ट (1, ई ^ 2) #, # गण तब आरआर म #.
क ल ए हल # Y # वह द त ह
# आपक = e ^ 2x -e ^ 2 #.
आपक अ तत इसक ज च करन च ह ए # (2, ई ^ 2) # वक र पर स थ त ह #F (एक स, व ई) #स पर शर ख र ख पर, और स म न य र ख पर।
