Sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) e ^ (iarctan (b / a)) = a + bi?

Sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) e ^ (iarctan (b / a)) = a + bi?
Anonim

उत तर:

स पष ट करण म

स पष ट करण:

एक स म न य समन वय व म न पर, हमन (1,2) और (3,4) और उस ज स स म न क समन वय क य ह । हम इन न र द श क क n और र डल क क ण क र प म बदल सकत ह । इसल ए यद हम र प स ब द (ए, ब) ह, ज सक अर थ ह क हम इक इय क द ई ओर, ब इक इय क ऊपर और #sqrt (एक ^ 2 + b ^ 2) # म ल और ब द क ब च क द र क र प म (ए, ब)। म क ल कर ग #sqrt (ए ^ 2 + ब ^ 2) = आर #

त हम र प स # फ र स ^ arctan (ख / एक) #

अब इस प रम ण क सम प त करन क ल ए आइए एक स त र य द करत ह ।

# ई ^ (इत त) = क स (थ ट) + आइस न (थ ट) #

च प त न क क र य म झ एक क ण द त ह ज थ ट भ ह ।

त हम र प स न म नल ख त सम करण ह:

# ई ^ आई * आर कट क (ब / ए) = क स (आर कटन (ब / ए)) + प प (आर कटन (ब / ए)) #

अब एक समक ण त र भ ज बन त ह ।

(ब / ए) क आर कन म झ बत त ह क ब व पर त पक ष ह और आसन न पक ष ह । इसल ए अगर म झ आर कट क (ब / ए) क क स च ह ए, त हम ह इप ट य ज क पत लग न क ल ए प यथ ग र यन प रम य क उपय ग करत ह । कर ण ह #sqrt (एक ^ 2 + b ^ 2) #। त cos (arctan (b / a)) = कर ण पर आसन न = # एक / sqrt (एक ^ 2 + b ^ 2) #.

इसक ब र म सबस अच छ ब त यह ह क यह स द ध त स इन पर ल ग ह त ह । त प प (अर कतन (b / a)) = कर ण क व पर त = # B / sqrt (एक ^ 2 + b ^ 2) #.

त अब हम अपन उत तर इस प रक र व यक त कर सकत ह: #R * ((एक / sqrt (एक ^ 2 + b ^ 2)) + (द व / sqrt (एक ^ 2 + b ^ 2))) #.

ल क न य द रख #r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # त अब हम र प स ह: #r * ((a / r) + (द व / r)) #। R क रद द ह न, और आपक न म न क स थ छ ड द य गय ह: # एक + द व #

इसल ए, # (प न ^ ((arctan (ख / एक)))) = एक + द व #