क पय इस हल कर ? क न स व कल प सह ह ?

यह आस न स प र थम क स धन क द व र नह द ख ज सकत ह, इसल ए म न इस स ख य त मक र प स हल क य और प र प त क य:

म न इसक ल ए अभ न न म ल य कन क य # एन = 1, 1.5, 2,। । ।, 9.5, 10, 25, 50, 75, 100 #। तब तक यह स पष ट र प स पह च रह थ #0.5#.

उत तर:

न च द ख ।

स पष ट करण:

# int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1 #

# int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx ge 1/2 int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1/2 #

य

# 1/2 le int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dos le # 1

अब यह म नत ह ए क उत तर म स एक सत य ह, सबस स व भ व क च थ ब त लगत ह)

ध य न द

क ल य # x 0,1 म #

# 1/2 ल 1 / (1 + x ^ 2) ल 1 #

उत तर:

#1/2#

स पष ट करण:

ज स क प छल सम ध न म पहल ह द ख य ज च क ह, #I_n = int_0 ^ 1 (nx ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx #

म ज द ह और ब ध य ह:

# 1/2 ल I_n <1 #

अब भ ग प द व र द व र एक करण

# (I_n = (int nx ^ (n-1) dx) / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1-int_0 ^ 1 x ^ n ब र (- (2x) / (1 + x ^ 2) 2) dx #

#qquad = (x ^ n / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1 + 2int_0 ^ 1 x ^ (n + 1) / (1 + x ^ 2) ^ 2dx #

#qquad = 1/2 + J_n #

अब, कब स # 1 <(1 + x ^ 2) ^ - 1 <1 # म #(0,1)#

#J_n = 2 / (n + 2) int_0 ^ 1 ((n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) ^ 2 dx #

#qquad <= 2 / (n + 2) int_0 ^ 1 ((n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) dx = 2 / (n + 2) I_ (n + 2)) #

जबस #lim_ (n स oo) I_n # म ज द ह, हम र प स ह

#lim_ (n स oo) J_n = lim_ (n स oo) 2 / (n + 2) I_ (n + 2) = lim_ (n स oo) 2 / (n + 2) ग न lim_ (n स oo) I_ (n + 2) = 0 #

इसल य

# lim_ (n स oo) I_n = 1/2 #