उत तर:
#int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #
स पष ट करण:
इस समस य क समझन क ल ए # 4-9x ^ 2> = 0 #, इसल ए # -2 / 3 <= एक स <= 2/3 #। इसल ए हम एक च न सकत ह # 0 <= य <= अन करण य # ऐस ह क # X = 2 / 3cosu #। इसक उपय ग करत ह ए, हम अभ न न क उपय ग करत ह ए चर x क सब सक र इब कर सकत ह # Dx = -2 / 3sinudu #: #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -4 / 27intcos ^ 2u / (sqrt (1-cos ^ 2u)) sinudu = -4 / 27intcos ^ 2udu # यह हम उसक उपय ग करत ह # 1-क य क ^ 2U = प प ^ 2U # और इसक ल ए # 0 <= य <= अन करण य # #sinu> = 0 #.
अब हम ख जन क ल ए भ ग द व र एक करण क उपय ग करत ह # Intcos ^ 2udu = intcosudsinu = sinucosu-intsinudcosu = sinucosu + intsin ^ 2U = sinucosu + intdu-intcos ^ 2udu = sinucosu + u + स-intcos ^ 2udu #। इसल य # Intcos ^ 2udu = 1/2 (sinucosu + u + स) #.
त हमन प य ह #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -2 / 27 (sinucosu + u u c) #, अब हम स थ न पन न ह #एक स# क ल ए व पस # य #, क उपय ग कर # य = क य क ^ (- 1) ((3x) / 2) #, इसल ए #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 9xsin (cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) - 2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + स #.
त र क ण क स दर भ म स इन और क ज इन क पर भ ष क उपय ग करक हम इस और सरल बन सकत ह । एक क ण क स थ एक सह त र क ण क ल ए # य # ग र-सह क न म स एक पर, # प प = "व पर त पक ष" / "सबस ल ब पक ष" #, जबक # क स = "न कटवर त पक ष" / "सबस ल ब पक ष" #, क य क हम ज नत ह # Cosu = (3x) / 2 #, हम आसन न पक ष क च न सकत ह # 3x # और सबस ल ब ह स स ह #2#। प इथ ग रस क प रम य क उपय ग करत ह ए, हम इसक व पर त पक ष क प त ह #sqrt (4-9x ^ 2) #, इसल ए #sin (क य क ^ (- 1) ((3x) / 2)) = sinu = 1 / 2sqrt (4-9x ^ 2) #। इसल य #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #.
