X (f) = x-x ^ 2e ^ -x अवतल य उत तल क म न क ल ए x क य ह ?

उत तर:

द सर व य त पन न ख ज और उसक च न ह क ज च कर । यद यह ऋण त मक ह और यह ऋण त मक ह त यह उत तल ह ।

इसक ल ए अवतल:

#x (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

क ल ए उत तल:

#x in -oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #

स पष ट करण:

#F (x) = एक स-x ^ 2 ई ^ -x #

पहल व य त पन न:

#F '(x) = 1- (2xe ^ -x + x ^ 2 * (- ई ^ -x)) #

#F '(x) = 1-2xe ^ -x + x ^ 2 ई ^ -x #

ल न # ई ^ -x # अगल व य त पन न क सरल बन न क ल ए एक स म न य क रक क र प म:

#F '(x) = 1 + ई ^ -x * (x ^ 2-2x) #

द सर व य त पन न:

#F '' (x) = 0 + (- ई ^ -x * (x ^ 2-2x) + ई ^ -x * (2x -2)) #

#F '' (x) = ई ^ -x * (2x-2x ^ 2 + 2x) #

#F '' (x) = ई ^ -x * (- एक स ^ 2 + 4 एक स -2) #

अब हम स क त क अध ययन करन च ह ए। हम द व घ त क आस न स हल करन क ल ए स क त स व च कर सकत ह:

#F '' (x) = - ई ^ -x * (x ^ 2-4x +2) #

# Δ = b ^ 2-4 * एक * ग = 4 ^ 2-4 * 1 * 2 = 8 #

द व घ त उत प द बन न क ल ए:

#x_ (1,2) = (- ब + -sqrt (Δ)) / (2 * एक) = (4 + -sqrt (8)) / (2 * 1) = 2 + -sqrt (2) #

इसल ए:

#F '' (x) = - ई ^ -x * (x- (2-sqrt (2))) * (x- (2 + sqrt (2))) #

• क एक म ल य #एक स# इन द सम ध न क ब च एक नक र त मक द व घ त स क त द त ह, जबक क स अन य म ल य क #एक स# इस सक र त मक बन त ह ।
• क क ई म ल य #एक स# बन त ह # ई ^ -x # सक र त मक।
• फ क शन क श र आत म नक र त मक स क त सभ स क त क उलट द त ह ।

इसल ए, #F '' (x) # ह:

इसक ल ए सक र त मक, इसल ए अवतल:

#x (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

नक र त मक, इसल ए इसक ल ए उत तल:

#x in -oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #