च (एक स) = (एक स ^ 2 -9) ^ 3 +10 क अ तर ल पर एक स ट र म [-1,3] क य ह ?

उत तर:

हम र प स एक म न म ह # X = 0 # और एक ब द पर व भक त # एक स = 3 #

स पष ट करण:

एक म क स म एक उच च ब द ह ज सक ल ए एक फ क शन उगत ह और फ र फ र स ग रत ह । ज स स पर शर ख क ढल न य उस ब द पर व य त पन न क म न श न य ह ग ।

इसक अल व, ज स क म क स म क ब ई ओर स पर शर ख ऊपर क ओर झ क ह ग, फ र चपट और फ र न च क ओर ढल न ह ग, स पर शर ख क ढल न लग त र कम ह त ज एग, य न द व त य व य त पन न क म न ऋण त मक ह ग ।

द सर ओर एक म न म एक कम ब द ह ज सक ल ए एक फ क शन ग रत ह और फ र फ र स बढ ज त ह । ज स क म ज म भ स पर शर ख य व य त पन न क म न श न य ह ग ।

ल क न, ज स क म न म क ब ई ओर क स पर शर ख न च क ओर झ क ह ई ह ग, फ र चपट और फ र ऊपर क ओर ढल न ह ग, स पर शर ख क ढल न लग त र बढ रह ह ग य द सर व य त पन न क म न सक र त मक ह ग ।

यद द सर व य त पन न श न य ह त हम र प स एक ब द ह

ह ल क, य अध कतम और म न म य त स र वभ म क ह सकत ह य न अध कतम स म क ल ए म क स म य म न म य स थ न य ह सकत ह य स म त स म म अध कतम य म न म ह सकत ह ।

आइए इस प रश न म वर ण त फ क शन क स दर भ म द ख और इसक ल ए हम पहल अ तर करन च ह ए #F (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #.

इसक पहल व य त पत त क सक द व र द गई ह #F '(x) = 3 (x ^ 2-9) ^ 2 * 2x #

= # 6x (x ^ 4-18x ^ 2 + 81) = 6x ^ 5-108x ^ 3 + 486x #.

यह श न य ह ग # X ^ 2-9 = 0 # य #x = + - 3 # य #0#। इनम स क वल #{0,3}# स म क भ तर ह #-1,3}#.

इसल ए अध कतम य म न म ब द ओ पर ह त ह # X = 0 # तथ # एक स = 3 #.

यह ज नन क ल ए क क य यह म क स म य म न म ह, आइए हम द सर अ तर क द ख #F '' (x) = 30x ^ 4-324x ^ 2 + 486 # और इसल ए जबक

पर # X = 0 #, #F '' (x) = 486 # और सक र त मक ह

पर # एक स = 3 #, #F '' (x) = 2430-2916 + 486 = 0 # और व भक त क एक ब द ह ।

इसल ए, हम र प स एक स थ न य म न म ह # X = 0 # और एक ब द पर व भक त # एक स = 3 #

। ग र फ {(x ^ 2-9) ^ 3 + 10 -5, 5, -892, 891}

उत तर:

प र ण न य नतम ह #(-9)^3+10# (ज ह त ह #0#), अ तर ल पर प र ण अध कतम ह #10#, (ज ह त ह #3#)

स पष ट करण:

यह सव ल न र द ष ट नह करत ह क क य हम स प क ष य प र ण एक स ट र म ख जन ह, इसल ए हम द न क ख ज ल ग ।

र श त द र एक स ट र म क वल महत वप र ण स ख य म ह सकत ह । महत वप र ण स ख य क म ल य ह #एक स# क ड म न म ह # च # और ज स पर य त #F '(x) = 0 # य #f '(x) म ज द नह ह । (फर म ट क प रम य)

एक ब द अ तर ल पर प र ण व ल प तत अ तर ल म महत वप र ण स ख य म य अ तर ल क एनप इ ट पर ह सकत ह ।

क य क यह क ब र म प छ गय क र य न र तर ह #-1,3#, चरम म ल य प रम य हम व श व स द ल त ह क # च # अ तर ल पर एक प र ण न य नतम और प र ण अध कतम द न ह न च ह ए।

महत वप र ण स ख य और र श त द र एक स ट र म ।

क ल य #f (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #, हम ढ ढ #f '(x) = 6x (x ^ 2-9) ^ 2 #.

स पष ट र प स, # च '# कभ भ अस त त व म नह आत ह, इसल ए उस तरह क क ई महत वप र ण स ख य नह ह ।

क स लझ न # 6x (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 # सम ध न द त ह #-3#, #0#, तथ #3#.

#-3# इस समस य क ड म न म नह ह, #-1,3# इसल ए हम क वल ज च क आवश यकत ह #F (0) # तथ #F (3) #

क ल य #x <0 #, हम र प स ह #f '(x) <0 # तथ

क ल य #x> 0 #, हम र प स ह #f '(x)> 0 #.

त, पहल व य त पन न पर क षण द व र, #F (0) # एक र श त द र न य नतम ह । #f (0) = -9 ^ 3 + 10 #.

अ तर ल म अन य महत वप र ण स ख य ह #3#। यद हम ड म न प रत ब ध क अनद ख करत ह, त हम प त ह क #f '(x)> 0 # सबक ल ए #एक स# प स म #3#। त, क र य छ ट ख ल अ तर ल पर बढ त ह #3#। इसल ए, अगर हम र क ज त ह पर #3# हमन उच चतम ब द म र ह ड म न म.

वह ह नह स र वभ म क समझ त ह क क य कहन ह #F (3) = 10 # इस सम र ह क ल ए एक र श त द र अध कतम ह #-1,3#.

क छ म ल य क आवश यकत ह द न तरफ कम ह न क ल ए, द सर क कम ह न क ल ए ड म न म म ल य क आवश यकत ह त ह ।

प र ण बह र म खत

एक ब द अ तर ल पर प र ण र प स ब हर न कलन क स थ त # क, ख # बह त सरल ह ।

ब द अ तर ल म महत वप र ण स ख य ओ क पत लग ए । ब ल ए # c_1, c_2 # और इस तरह।

म न क गणन कर #f (a), f (b), f (c_1), f (c_2) # और इस तरह। सबस बड म न अ तर ल पर न रप क ष म क सम ह और सबस कम म ल य अ तर ल पर प र ण न य नतम ह ।

इस प रश न म हम गणन करत ह #f (-1) = (-8) ^ 3 + 10 #, #f (-3) = 10 # तथ #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 #.

न य नतम ह #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 # तथ

अध कतम ह #f (-3) = 10 #.