F (x, y) = x ^ 2 + 13y ^ 2-6xy-4y-2 क न य नतम म ल य ह ?

#F (एक स, व ई) = x ^ 2 + 13y ^ 2-6xy-4y -2 #

# => च (एक स, व ई) = x ^ 2-2 * x * (3y) + (3y) ^ 2 + (2y) ^ 2-2 * (2y) * 1 + 1 ^ 2-3 #

# => (एक स, व ई) = (एक स-3y) ^ 2 + (2y -1) ^ 2-3 # च

प रत य क वर ग अभ व यक त क न य नतम म ल य श न य ह न च ह ए।

इसल ए # च (एक स, व ई) _ "म नट" = - 3 #

उत तर:

न य नतम पर एक र श त द र ह #(3/2,1/2)# तथ #F (3 / 2,1 / 2) = - 3 #

स पष ट करण:

म झ लगत ह क हम आ श क ड र व ट व क गणन करन च ह ए।

यह, #F (एक स, व ई) = x ^ 2 + 13y ^ 2-6xy-4y -2 #

पहल आ श क ड र व ट व ह

# (ख ई) / (delx) = 2x-6y #

# (ख ई) / (dely) = 26y-6x-4 #

महत वप र ण ब द ह

# {(2x-6y = 0), (26y-6x -4 = 0):} #

#<=>#, # {(3y = एक स), (26y-6 * 3y-4 = 0):} #

#<=>#, # {(3y = एक स), (8y = 4):} #

#<=>#, # {(एक स = 3/2), (y = 1/2):} #

द सर आ श क ड र व ट व ह

# (ड ल ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #

# (ड ल ^ 2f) / (dely ^ 2) = 26 #

# (ड ल ^ 2f) / (delxdely) = - 6 #

# (ड ल ^ 2f) / (delydelx) = - 6 #

ह स यन म ट र क स क न र ध रक ह

#D (एक स, व ई) = | ((ड ल ^ 2f) / (delx ^ 2), (ड ल ^ 2f) / (delxdely)), ((ड ल ^ 2f) / (dely ^ 2), (ड ल ^ 2f) / (delydelx)) | #

#=|(2,-6),(-6,26)|#

#=52-36#

#=16>0#

ज स #D (एक स, व ई)> 0 #

तथ

# (ड ल ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2> 0 #

न य नतम पर एक र श त द र ह #(3/2,1/2)#

तथ

#F (3 / 2,1 / 2) = 1,5 ^ 2 + 13 * 0,5 ^ 2-6 * 1,5 * 0.5-4 * 0.5-2 = -3 #