F (x) = 3x ^ 2 - 12x + 13 पर [-oo, oo] क व ल प त क य ह ?

उत तर:

#F (एक स) # पर कम स कम ह # X = 2 #

स पष ट करण:

आग बढ न स पहल, ध य न द क यह एक ऊपर क ओर परब ल ह, ज सक अर थ ह क हम आग क गणन क ब न ज न सकत ह क इसक क ई अध कतम म नह ह ग, और इसक श र ष पर एक न य नतम। वर ग प र करन स हम पत चलत ह क #f (x) = 3 (x-2) ^ 2 + 1 #, श र ष द, और इस तरह एकम त र न य नतम, पर #x = 2 #। आइए द ख क यह पथर क स थ क स क य ज एग, ह ल क ।

क ई भ एक सट र म य त एक महत वप र ण ब द पर य द ए गए अ तर ल क सम पन ब द पर ह ग । हम र द ए गए अ तर ल क र प म # (- ऊ, ऊ) # ख ल ह, हम ए डप इ ट क स भ वन क अनद ख कर सकत ह, और इसल ए हम पहल फ क शन क महत वप र ण ब द ओ क पहच न कर ग, अर थ त, वह ब द ज स पर फ क शन क व य त पन न ह #0# य म ज द नह ह ।

#f '(x) = d / dx (3x ^ 2-12x + 13) = 6x-12 #

इसक बर बर स ट करन #0#, हम एक महत वप र ण ब द पर प त ह # X = 2 #

# 6x-12 = 0 => x = 12/6 = 2 #

अब, हम य त यह द खन क ल ए पर क षण कर सकत ह क क य यह एक चरम (और क स प रक र) क क छ म ल य क ज च करक ह # च # उस ब द क आसप स, य द सर व य त पन न पर क षण क उपय ग करक । उत तर र द ध क उपय ग करत ह ।

# (d ^ 2x) / (dx ^ 2) = d / dx (6x-12) = 6 #

ज स #f '' (2) = 6> 0 #द सर व य त पन न पर क षण हम बत त ह क #F (एक स) # पर एक स थ न य न य नतम ह # X = 2 #

इस प रक र, क उपय ग कर #F '(x) # तथ #F '' (x) #, हम प त ह क #F (एक स) # पर कम स कम ह # X = 2 #, पर ण म क म ल न करत ह ए हमन ब जगण त क उपय ग क य ।