[0, pi / 4] म f (x) = 2xsin ^ 2x + xcos2x क प र ण व ल प तत क य ह ?

उत तर:

प र ण अध कतम: # (प आई / 4, प आई / 4) #

प र ण म नट: #(0, 0)#

स पष ट करण:

द य ह आ: #f (x) = 2x प प ^ 2x + x cos2x 0, pi / 4 # म

द ब र उत प द न यम क उपय ग करक पहल व य त पन न ख ज ।

प र डक ट न यम: # (uv) '= uv' + v u '#

चल #u = 2x; "" आप '= 2 #

चल #v = sin ^ 2x = (sin x) ^ 2; "" v '= 2 प प x cos x #

#f '(x) = 2x2 sin x cos x + 2sin ^ 2x + … #

सम करण क द सर भ ग क ल ए:

चल #u = x; "" आप '= 1 #

चल #v = cos (2x); "" v '= (- प प (2x)) 2 = -2 वर ग (2x) #

#f '(x) = 2x2 sin x cos x + 2sin ^ 2x + x (-2sin (2x)) + cos (2x) (1) #

सरल बन ए:

#f '(x) = रद द (2x प प (2x)) + 2sin ^ 2x रद द (-2x प प (2x)) + cos (2x) #

#f '(x) = 2 प प ^ 2x + cos (2x) #

#f '(x) = 2 प प ^ 2x + cos ^ 2x - प प ^ 2x #

#f '(x) = sin ^ 2x + cos ^ 2x #

प इथ ग रस क पहच न # प प ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #

इसक मतलब यह ह क जब क ई महत वप र ण म ल य नह ह #f '(x) = 0 #

फ क शन अ तर ल क सम पन ब द पर प र ण अध कतम और न य नतम म ल ग ।

फ क शन क अ त म सम पन ब द:

# एफ (0) = 0; "प र ण न य नतम:" (0, 0) #

# एफ (प आई / ४) = २ * प / ४ प प ^ २ (प आई / ४) + प ई / ४ * क स (२ * प आई / ४) #

# एफ (प आई / 4) = प आई / २ (१ / वर गर ट (२)) ^ २ + प / ४ * क स (प आई / २) #

# एफ (प आई / ४) = प आई / २ * १/२ + प आई / ४ * ० #

# एफ (प / 4) = प आई / 4; "प र ण अध कतम:" (प आई / ४, प आई / ४) #