उत तर:
# {: ("क र ट कल प इ ट", "न ष कर ष"), (0,0,0), "क ठ "):} #
स पष ट करण:
क व ल प तत क पहच न करन क ल ए स द ध त
- एक स थ महत वप र ण सम करण क हल कर
# (आ श क f) / (आ श क x) = (आ श क f) / (आ श क y) = 0 # # (अर थ त# F_x = f_y = 0 # ) - म ल य कन करन
#f_ (x x), f_ (yy) और f_ (xy) (= f_ (yx)) # इन महत वप र ण ब द ओ म स प रत य क पर। इसल ए म ल य कन कर# ड ल ट = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # इनम स प रत य क ब द पर - एक सट र म क प रक त क न र ध रण कर;
# {: (ड ल ट > 0, "न य नतम ह अगर" f_ (xx) <0),, ("," और एक अध कतम अगर "f_ (yy)> 0), (Delta <0," एक क ठ ब द ह)), (ड ल ट = 0, "आग क व श ल षण आवश यक ह "):} #
त हम र प स:
# f (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2)) #
# "" = xye ^ (y ^ 2) - xye ^ (x ^ 2) #
आइए हम पहल आ श क व य त पत त ख ज:
# (आ श क f) / (आ श क x) = त ^ (y ^ 2) + {(-xy) (2xe ^ (x ^ 2)) + (-y) (e ^ (x ^ 2))} #
# _ _ _ _ = ^ ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) #
# (आ श क f) / (आ श क y) = {(xy) (2ye ^ (y ^ 2)) + (x) (e ^ (y ^ 2))} - xe ^ (x ^ 2) #
# _ _ _ _ 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) #
त हम र महत वप र ण सम करण ह:
# त ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -य ^ (x ^ 2) = 0 => y (e ^ (y ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #
# 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) = 0 => x (2y ^ 2e ^ (y ^ 2) + e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #
इन सम करण स हम र प स:
# y = 0 # य# ई ^ (y ^ 2) -ई ^ (x ^ 2) = 2x ^ 2e ^ (x ^ 2) #
# x = 0 # य# e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2) = -2y ^ 2e ^ (y ^ 2) #
और एकम त र सम ध न ह
और इसल ए हम र प स ह एक म ल म महत वप र ण ब द
त, अब हम द सर आ श क ड र व ट व क द खत ह त क हम महत वप र ण ब द क प रक त क न र ध र त कर सक (म इन पर ण म क उद ध त कर ग):
# _ _ (आ श क ^ 2f) / (आ श क x ^ 2) = -4x ^ 3ye ^ (x ^ 2) -6xye ^ (x ^ 2) #
# _ _ (आ श क ^ 2f) / (आ श क y ^ 2) = 4xy ^ 3e ^ (y ^ 2) + 6xye ^ (y ^ 2) #
# (आ श क ^ 2f) / (आ श क x आ श क y) = e ^ (y ^ 2) -ई ^ (x ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) + 2y ^ 2e ^ (y ^ 2) (= (आ श क ^ 2f) / (आ श क y आ श क x)) #
और हम गणन करन च ह ए:
# ड ल ट = (आ श क ^ 2f) / (आ श क x ^ 2) (आ श क ^ 2f) / (आ श क y ^ 2) - ((आ श क ^ 2f) / (आ श क x आ श क y)) ^ 2 #
प रत य क महत वप र ण ब द पर। द सर आ श क व य त पन न म ल य,
# {: ("क र ट कल प इ ट", (आ श क ^ 2f) / (आ श क x ^ 2), (आ श क ^ 2f) / (आ श क y ^ 2), (आ श क ^ 2f) / (आ श क x आ श क y), ड ल ट, "न ष कर ष"), ((0,0,0), 0,0,0, = 0, "सम व श "):} #
इसल ए उस सभ क म क ब द यह एक सम व श पर ण म प र प त करन क ल ए न र श जनक ह, ल क न अगर हम महत वप र ण ब द क आसप स क व यवह र क ज च करत ह त हम आस न स स थ प त कर सकत ह क यह एक क ठ ब द ह ।
यद हम एक 3D प ल ट क द खत ह, त हम इन महत वप र ण ब द ओ क द ख सकत ह:
