एक लहर सम र ह क य ह और इसक ल ए अच छ तरह स व यवह र करन क ल ए क य आवश यकत ए ह , अर थ त इसक ल ए श र र क व स तव कत क ठ क स प रत न ध त व करन ह ?

उत तर:

व वफ क शन एक जट ल म ल यव न फ क शन ह ज सम आय म (प र ण म ल य) स भ व यत व तरण द त ह । ह ल क यह स ध रण लहर क तरह व यवह र नह करत ह ।

स पष ट करण:

क व टम य त र क म, हम एक प रण ल क स थ त क ब र म ब त करत ह । सबस सरल उद हरण म स एक एक कण ह ज एक अप य ड उन स प न म ह सकत ह, उद हरण क ल ए एक इल क ट र न। जब हम क स स स टम क स प न क म पत ह, त हम इस ऊपर य न च ह न क ल ए म पत ह । एक र ज य ज सक द व र हम म प क पर ण म क ब र म न श च त ह, हम एक स वद श (एक अप र ज य) कहत ह # Uarr # और एक न च र ज य # Darr #).

ऐस र ज य भ ह जह हम म प स पहल म प क पर ण म स अन श च त ह । इन र ज य क हम स परप ज शन कहत ह और हम उन ह न च ल ख सकत ह # एक * uarr + ब * darr #। हम र स थ ह # | एक | ^ 2 # म पन क स भ वन # Uarr #, तथ # | ख | ^ 2 # म पन क स भ वन # Darr #। इसक मतलब यह ह क # | एक | ^ 2 + | ख | ^ 2 = 1 #। हमन इज जत द # क, ख # जट ल स ख य ह न क ल ए, इसक क रण इस उद हरण स त र त स पष ट नह ह, ल क न तर ग क स दर भ म यह अध क स पष ट ह ग । लब ब ल आब यह ह क स प न क म पन क ल ए एक ह स भ वन द न व ल एक स अध क र ज य ह ।

अब हम इस स प न स थ त क एक फ क शन अस इन करन क प रय स कर सकत ह । च क स प न क म प क क वल द पर ण म ह, हम र प स एक फ क शन ह ज सम क वल द स भव इनप ट ह । यद हम फ क शन क क ल करत ह # स ई # (यह एक बह त प र पर क प रत क ह ज सक उपय ग तर ग तर ग क ल ए क य ज त ह), हम स ट करत ह #psi (uarr) = एक # तथ #psi (darr) = ख #.

अब हम तर ग क ओर म ड त ह । एक कण क एक पहल न श च त र प स उसक स थ न ह । ज स स प न क म मल म, हम स थ न क ल ए अलग-अलग म न क म प सकत ह, और हम र प स ऐस र ज य ह सकत ह ज नम म प क पर ण म पहल स तय नह ह त ह । च क हम र प स उन स थ न क ब श म र अन त र श ह जह एक कण ह सकत ह, इस स थ त क न च ल खकर # एक * "यह " + ब * "वह " # नह कर ग ह ल क, उस फ क शन क व च र ज हमन ऊपर उपय ग क य ह । त क स भ स थ न क ल ए #एक स#, हम र प स एक जट ल म ल य ह #psi (एक स) #। कण क स भ व यत घनत व क र य अब इसक द व र द य ज त ह # | स ई (एक स) | ^ 2 #.

सभ न ष पक षत म, ऐत ह स क र प स तर ग क व च र स प न क त लन म प र न ह, ल क न म झ लगत ह क स प न क व च र क क छ हद तक समझन स तर ग क समझ म मदद म लत ह ।

अब सबस पहल, व वफ क शन क म प ल क स क क य महत व द य ज त ह ? पहल क रण हस तक ष प क व च र म प य ज सकत ह । एक कण क तर ग स वय क स थ हस तक ष प कर सकत ह । इस व यवध न क व वफ क श स क ज ड न क स थ करन पड त ह, यद व वफ क शन एक न श च त ब द पर सम न न रप क ष म ल य द त ह, त उस ब द क आसप स एक कण क म पन क स भ वन सम न ह । ह ल क फ क शन म न अलग-अलग ह सकत ह, यद व सम न ह, त उन ह ज ड न स आय म, य स भ वन घनत व 4 ह ज एग (#|2|^2#) समय बड (रचन त मक हस तक ष प), और अगर व एक स क त स भ न न ह त ह त व एक द सर क नष ट कर द त ह (व न शक र हस तक ष प)। ह ल क, उद हरण क ल ए एक क रक स भ न न भ ह सकत ह #म #, ज सक अर थ ह क स भ वन घनत व बन ज त ह #2# उस ब द पर कई ब र बड । हम ज नत ह क य सभ हस तक ष प ह सकत ह । त यह पहल स वर ण त एक जट ल म ल यव न तर ग क ओर इश र करत ह ।

द सर क रण श र ड गर सम करण म प य ज सकत ह । श र आत म यह स च गय थ क य तर ग श स त र य तर ग क तरह ह व यवह र करत ह । ह ल क, जब श र ड गर न इन तर ग क व यवह र, य कम स कम समय क म ध यम स उनक व क स क वर णन करन क क श श क, त उन ह न प य क श स त र य तर ग क न य त र त करन व ल सम करण पर य प त नह थ । इस क म करन क ल ए, उस सम करण म एक जट ल स ख य प रस त त करन थ, ज सस यह न ष कर ष न कलत ह क फ क शन क स वय भ जट ल ह न ह, और सम करण म द ख ई द न व ल ड र व ट व क क रम श स त र य तर ग सम करण स भ न न ह त ह ।

सम करण म यह अ तर आपक द सर प रश न क भ उत तर द त ह । च क तर ग तर ग क व क स श स त र य तर ग स इतन भ न न ह त ह, हम उन ह व ध य क उपय ग नह कर सकत ज नक उपय ग हम श स त र य तर ग भ त क म करत ह । न श च त र प स ज य म त य तर क ह ज नक आप उपय ग कर सकत ह, ल क न यह क व टम भ त क म सभ घटन ओ क वर णन करन क ल ए पर य प त नह ह ग । इसक अल व, भल ह व वफ क शन एक कण क स थ त क ब र म बह त स र ज नक र द त ह, यह आपक इसक स प न क ब र म क छ नह बत त ह, क य क व धश ल क स प न और स थ न क प रत य क अभ भ वक क स थ बह त कम स ब ध ह ।

श यद म एक ज य म त य प रक त द व र गलत तर क स आपक मतलब क व य ख य कर रह ह । क य आप श यद इसक एक उद हरण द सकत ह । श यद तब म आपक आग मदद कर सकत थ ।

तर ग क र य एक परम ण य अण ज स क व टम य त र क प रण ल क स थ त क प रत न ध त व करत ह ।

इसक प रत न ध त व भ क य ज सकत ह # स ई #, क समय-स वत त र लहर सम र ह, य # स ई #, क समय पर न र भर तर ग क र य ।

क य क लहर फ क शन स पष ट र प स एक प रण ल क प रत न ध त व करत ह ज एक क तरह व यवह र करत ह लहर (यह क ई स य ग नह ह क इस कह ज त ह लहर सम र ह!), हम आम त र पर एक क उम म द कर ग अप रत ब ध त क ई स म नह ह । इस तथ य पर व च र कर # Sinx # तथ # Cosx #, द क र य ज स पष ट र प स तर ग ह, क ड म न ह # (- ऊ, ऊ) #.

उद हरण: ORBITALS क ल ए सम र ह ह

ह ल क, उद हरण क ल ए कक ष ल त ह । क एक स ट ह न च ह ए स म क स थ त ऑर ब टल क ल ए, क य क स पष ट र प स ऑर ब टल स अस म र प स बड नह ह ।

एक लहर फ क शन क च त रण कर सकत ह परम ण ऑर ब टल स क र ख क स य जन आणव क कक ष बन न क ल ए:

# र ग (न ल) (psi _ ("MO") = sum_ (i) c_iphi_i ^ "OO" #

# = र ग (न ल) (c_1phi_ (1s) + c_2phi_ (2s) + c_3phi_ (2px) + c_4phi_ (2py) + c_5phi_ (2pz) +) #।

कह प # C_i # ह व स त र ग ण क प रश न म व श ष आणव क कक ष य क ल ए प रत य क परम ण कक ष य क य गद न क स क त ह, और # Phi_i ^ "ए ओ" # ह प रय ग त मक / पर क षण तर ग सम र ह प रत य क परम ण कक ष य क ल ए।

च क एक तर ग फ क शन एक कक ष य क प रत न ध त व करन म सक षम ह न च ह ए, इसम एक सक र त मक त र ज य ह न च ह ए (#r> 0 #) और लहर सम र ह ह न च ह ए एक -valued, बन द ह , न र तर , ओर थ ग नल सभ स ब ध त तर ग क र य क ल ए, और normalizable .

द सर शब द म, यह ल बवत र ख पर क षण क प स करन च ह ए, वक र क न च एक पर म त क ष त र ह न च ह ए, क ई क दत / व र पत / स पर श न म ख / व र म नह ह, और न म नल ख त द सम करण क स त ष ट कर:

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Bd tau = 0 #

(एक तर ग सम र ह क अभ न न अ ग और इसक जट ल स य ग म ह #0# अगर लहर क र य अलग ह)

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Ad tau = 1 #

(एक तर ग सम र ह क अभ न न अ ग और इसक जट ल स य ग मन क स म न य क त क य ज त ह ज स क यह बर बर ह त ह #1# यद स इन क अल व लहर फ क शन सम न ह # प एमआई #)

ह इड र जन परम ण क ल ए ग ल क र न र द श क म तर ग फ क शन क ल ए एक उद हरण सम करण ह:

# र ग (न ल) (psi_ (2pz) (r, थ ट, phi)) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (थ ट, phi) #

# = र ग (न ल) (1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ ("3/2") ((Zr) / (a_0)) e ^ (- Zr // 2a -00) costheta) #

स चन क ल ए, म न व स तव म इस स म न य करन क ल ए समय ब त य । म न अन य द क स थ ऑर थ ग नल ट क ज च क ल ए भ समय ल य # 2p # लहर क र य ।: प

बस क म मल म, यह ज म न ऊपर स क र चप ड म ज ड ह, उसक एक पर श ष ट ह ।

#' '#

क स म न य करण

# 2p_z # परम ण कक ष य तर ग ह:

#psi_ (2pz) #

# = R_ (nl) (r) Y_ (l) ^ (m) (थ ट, phi) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (थ ट, phi) #

# = 1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (3/2) (Zr) / (a_0) e ^ (- (Zr) / (2a_0)) costheta #

(McQuarrie)

ह # 2p_z # तर ग क र य व स तव म स म न य क त? चल पत करत ह !

# # गण तब (int_ (0) ^ (oo) आर_ (एलय) ^ "*" (आर) आर_ (एलय) (आर) आर ^ 2 ड आर इ ट_ (0) ^ (प) व ई_ (एल) ^ (एम) (थ ट, फ) स न थ ट इ ट_ (0) ^ (2pi) ड एफआई स ट क ल ((?) (= 1) #

# 1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ ((5/2) ^ 2 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4rr int_ (0)) ^ (प) स ततक स ^ 2 ट टडड इ ट _ (0) ^ (2pi) ड एफआई स ट क लर (?) (=) 1 #

# र ग (हर) (1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr स ट क ल (= 2/3 ") (overbrace (int_ (0) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thetad थ ट)) stackrel (= 2pi) (overbrace (int_ (0) ^ (2pi) dphi) stackrel? (=) 1) #)

अब, क वल र ड यल भ ग क ज च करन, ज क प गल ह स स ह … भ ग द व र च ग न एकत श र कर !

इस सम र ह क स मय क घटक क म ल य कन

भ ग 1

#int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0) r ^ 4dr #

करत ह:

#u = r ^ 4 #

#dv = e ^ (((Zr) / (a_0) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0) #

#du = 4r ^ 3dr #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4int e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3dr} #

भ ग 2

करत ह:

#u = r ^ 3 #

#dv = e ^ (((Zr) / (a_0) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0) #

#du = 3r ^ 2dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4 - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0) r ^ 2dr} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3int e ^ (- (Zr) / (a_0) r ^ 2dr} #

भ ग ३

करत ह:

#u = r ^ 2 #

#dv = e ^ (((Zr) / (a_0) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0) #

# उत तर = 2 व #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3 - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ + (3a_0) / Z e ^ (((Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2int e ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr} #

भ ग ४

करत ह:

#u = r #

#dv = e ^ (((Zr) / (a_0) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0) #

# उत तर = ड #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ + (3a_0) / Z e ^ (((Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2 {- (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r - int - (a_0) / Ze ^ (- (ZR) / (a_0)) ड }} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ + (3a_0) / Z e ^ (((Zr) / (a_0)) r ^ 2 + (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r - int e ^ (- (Zr) / (a_0))) ड }} #

व स त र / सरल करण

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4 ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0): r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 + (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (ZR) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r - 3 - 12 ((a_0) / Z) ^ 3 e ^ (((Zr) / (a_0)) r ^ 2 - (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a00) / Ze ^ (- (ZR) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r - 3 - 12 ((a_0) / Z) ^ 3e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 24 ((a_0) / Z) ^ 4 {e ^ (- (Zr) / (a_0) r + (a_0)) / Ze ^ (- (ZR) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r - 3 - (a_0) / Z) ^ 3e ^ (- (Zr) / (a_0)) 12r ^ 2 - (a_0) / Z) ^ 4e ^ (- (Zr) / (a_0)) 24r (24 (a_0) / Z) ^ 5 e ^ (- (Zr) / (a_0)) #

म ल य कन-त य र फ र म

# = | -e ^ (((zr) / (a_0)) (a_0) / Z r ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 r ^ 3 + 12 ((a_0) / Z ^) 3 r ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 r + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 _ _ (0) ^ (oo) #

पहल आध क स ल ब हर ह न क ल ए #0#:

# = रद द कर ({- e ^ (- (च ड य घर) / (a_0)) (a_0) / Z oo ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 oo ^ 3 + 12 ((a_0 / / Z) ^ 3 oo ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 oo + 24 ((a_0) / Z) ^ 5}) ^ (0) - {-e ^ (- (Z (0)) / (a_0)) (a_0) / Z (०) ^ ४ + ४ ((a_0) / Z) ^ २ (०) ^ ३ + १२ ((a_0) / Z) ^ ३ (०) ^ २ + २४ (a_0) / Z) ^ 4 (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5} #

द सर आध सरल ह ज त ह ह न क ल ए # 1 * (0 + 0 + 0 + 0 + 24 ((a_0) / (ज ड)) ^ 5) #:

# = रद द कर (e ^ (- (Z (0)) / (a_0)) ^ (1) रद द कर ((a_0) / Z (0) ^ 4) ^ (0) + रद द कर (4 (a_0) / Z) ^ 2 (0) ^ 3) ^ (0) + रद द (12 (a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2) ^ (0) + रद द (24 (a_0) / Z) ^ 4 (0)) ^ (0) + 24 ((a_0) / ज ड) ^ 5 #

# = 24 (a_0 / Z) ^ 5 #

अब, एक प र क र प म तर ग फ क शन क प न ज च करत ह …

#psi_ (2pz) #

# = 1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 (24 (a_0 / Z) ^ 5) (2/3) (2pi) स ट क ल (?) (=) 1 #?

# = 1 / (रद द (32) रद द (pi)) रद द ((Z / a_0) ^ 5) (रद द (16) रद द (a_0 / Z) ^ 5) (रद द (2) रद द (pi)) स ट क लर (?) (=) 1 #

# र ग (न ल) (1 = 1) #

ह ! एक भ नह ह ! म र मतलब…

लहर सम र ह व स तव म स म न य क त ह !: ड

2p तर ग क र य क ल ए आपस ओर थ ग नल ट स ब त करन

हम न म नल ख त तर ग क च नन द:

#psi_ (2px) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0_ sinthetacosphi #

#psi_ (2py) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0_ sinthetasinphi #

#psi_ (2pz) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a -0) costheta #

यह द ख न क ल ए क व र ढ व द ह, हम उनम स कम स कम एक द ख न क आवश यकत ह:

#int _ ("सभ स थ न") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

और प र रण स हम ब क क मतलब कर सकत ह क य क र ड यल घटक सम न ह । द सर शब द म:

# # गण तब (int_ (0) ^ (oo) R_ (nl, 2px) ^ "*" (r) R_ (nl, 2pz) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) (थ ट) sintheta int_ (0) ^ (2pi) Y_ (l) ^ (m) (phi) dphi स ट क ल (?) (=) 0) #?

# र ग (हर) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /" a_0) r ^ 4dr int_ (0 ^ ^ ^ (pi) प प ^ 2thetacosthetad थ ट int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi स ट क ल (?) (=) 0) #?

र ड यल भ ग न कल # 24 (a_0) / Z) ^ 5 #। त, आइए हम क ण य भ ग क म ल य कन कर ।

# थ ट # ह स स:

# र ग (हर) (int_ (0) ^ (pi) प प ^ 2 ट टक स ट टड थ ट) #

करत ह:

#u = स न थ ट #

#du = क स ट ट ड थ ट #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 1/3 * | प प ^ 3 वर ष | _ (0) ^ (प) #

# = 1/3 * प प ^ 3 (प आई) - प प ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = र ग (हर) (0) #

और अब द # फ ई # ह स स:

# र ग (हर) (int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# = | प प | _ (0) ^ (2pi) #

# = प प (2pi) - प प (0) #

करत ह:

#u = स न थ ट #

#du = क स ट ट ड थ ट #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 0 - 0 = र ग (हर) (0) #

इसल ए, हम र प स क ल म ल कर:

#color (न ल) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /" a_0) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) प प ^ 2thetacosthetad थ ट int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# = रद द कर (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 (24) ((a_0) / Z) ^ 5 (0) (0)) ^ (0) #

# = र ग (न ल) (0) #

जबस

#int _ ("सभ स थ न") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

# 2p_z # तथ # 2p_x # परम ण ऑर ब टल स ऑर थ ग नल ह ।

व स तव म, क उपय ग करन क स थ म ख य अ तर # 2p_y # सम करण यह ह क आप इसक बज य प र प त कर:

#color (हर) ("क स ट ट" int_ (0) ^ (oo) "सम न स म न" dr int_ (0) ^ (pi) प प ^ 3thetad थ ट int_ (0) ^ (2pi) sinphotosphidphi स ट क ल (?) (=) 0) #

इसल ए:

#color (न ल) (int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi) #

# = 1/2 | प प ^ 2phi | _ (0) ^ (2pi) #

# = 1/2 प प ^ 2 (2pi) - प प ^ 2 (0) = र ग (न ल) (0) #

ग ण करन स #0# अन य अभ न न द व र, इस प रक र प र अभ न न ग यब ह ज त ह और:

#int _ ("सभ स थ न") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2py) d ti = # #

इस प रक र # 2p_x # तथ # 2p_y # परम ण ऑर ब टल स ऑर थ ग नल ह ।

अ त म, क ल ए # 2p_y # बन म # 2p_z #:

#color (हर) ("क न स ट ट" int_ (0) ^ (oo) "सम न स म न" dr int_ (0) ^ (pi) प प ^ 2thetacosthetad थ ट int_ (0) ^ (2pi) sinphidphi स ट क ल? (=) (=) 0) #

हम ज नत ह # थ ट # पहल स अभ न न:

# र ग (न ल) (int_ (0) ^ (pi) प प ^ 2 ट टक स ट ट ड थ ट) #

# = 1/3 * | प प ^ 3 वर ष | _ (0) ^ (प) #

# = 1/3 * प प ^ 3 (प आई) - प प ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = र ग (न ल) (0) #

और इसल ए प र अभ न न फ र स ग यब ह ज त ह, और व स तव म # 2p_y # तथ # 2p_z # ऑर ब टल स ऑर थ ग नल भ ह !