म स ख य क त र क णम त य र प म पर वर त त करक श र कर ग:
# Z = sqrt (3) म = 2 cos (-pi / 6) + ISIN (-pi / 6) #
इस स ख य क घनम ल क इस प रक र ल ख ज सकत ह:
# Z ^ (1/3) #
अब इस ध य न म रखत ह ए, म त र क णम त य र प म एक जट ल स ख य क nth शक त क ल ए स त र क उपय ग करत ह:
# Z ^ n = r ^ n cos (ntheta) + ISIN (ntheta) # द रह ह:
# Z ^ (1/3) = 2 ^ (1/3) cos (-pi / 6 * 1/3) + ISIN (-pi / 6 * 1/3) = #
# = 2 ^ (1/3) cos (-pi / 18) + ISIN (-pi / 18) #
आयत क र म क न स ह: # 4.2-0.7i #
म Gió क जव ब स प र तरह सहमत नह ह सकत, क य क यह अध र ह और औपच र क र प स भ गलत ह ।
औपच र क त र ट क उपय ग म ह द म इवर क स त र ग र-प र ण क घ त क क स थ। De Moivre क फ र म ल प र ण क घ त क पर ह ल ग क य ज सकत ह । व क प ड य क प ष ठ पर इस ब र म अध क ज नक र
इसस न पटन क ल ए आपक स त र क आ श क व स त र म ल ग # उपलब ध नह #-यह जड (इसम एक अत र क त प र म टर श म ल ह # कश म र #): अगर # z = r (cos थ ट + I प प थ ट) #, फ र
# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos (थ ट + 2 k pi) / n) + i प प ((थ ट + 2 k pi) / n) # कह प # क = 0, …, एन -1 #.
एक और क छ अर थ म) जट ल स ख य क बह त म ल क स पत त ह # उपलब ध नह #-इस जड ह … # उपलब ध नह # जड (सम ध न)! प र म टर # कश म र # (ज ब च-ब च म बदलत रहत ह #0# तथ # N-1 #, इसल ए # उपलब ध नह # म न) हम उन ह एक स त र म स क ष प म प रस त त करन द त ह ।
इसल ए घन जड क त न सम ध न ह और उनम स क वल एक क ढ ढन क फ नह ह: यह स र फ "#1/3# सम ध न क "।
म न च अपन सम ध न-प रस त व ल ख ग । ट प पण य क स व गत ह !
ज स क Gió न सह ढ ग स स झ व द य ह, पहल चरण व यक त कर रह ह # Z = sqrt {3} म # इसक त र क णम त य र प म #r (cos थ ट + आई प प थ ट) #। जड स न पटन क द र न, त र क णम त य र प (लगभग) हम श एक उपय ग उपकरण ह त ह (स थ म घ त क एक)। आपक म ल:
# R = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} = sqrt {(sqrt {3}) ^ 2 + (- 1) ^ 2} = sqrt {3 + 1} = sqrt {4} = 2 #
# थ ट = आर कट न (y / x) = आर कट न (- 1 / sqrt {3}) = - pct / / #
इसल ए # z = r (cos थ ट + I प प थ ट) = 2 (cos--pi / 6) + i sin (-pi / 6)) #
अब आप जड क गणन करन च हत ह । उपर क त स त र द व र, हम प र प त करत ह:
# z ^ {1/3} = r ^ {1/3} ((थ ट + 2 k pi) / 3) + i प प ((थ ट + 2 k pi) / 3)) = 2 ^ {1 / 3} (cos ((-pi / 6 + 2 k pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 2 k pi) / 3)) #
कह प # k = 0, 1, 2 #। त क त न अलग-अलग म ल य ह # कश म र # (#0#, #1# तथ #2#) ज त न अलग-अलग जट ल जड क जन म द त ह # Z #:
# z_0 = 2 ^ {1/3} ((-pi / 6 + 0) / 3) + i प प ((-pi / 6 + 0) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-प आई / १-) + म प प (-प आई / १ #)) #
# z_1 = 2 ^ {1/3} (((-pi / 6 + 2 pi) / 3) + i प प ((-pi / 6 + 2 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-11/18 pi) + i प प (-11/18 pi)) #
# z_2 = 2 ^ {1/3} ((-pi / 6 + 4 pi) / 3) + i प प ((-pi / 6 + 4 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-23/18 pi) + i प प (-23/18 pi)) #
# Z_0 #, # Z_1 # तथ # Z_2 # त न सम ध न ह ।
क ल ए स त र क ज य म त य व य ख य # उपलब ध नह # जट ल व म न म सम ध न न क लन क ल ए जड बह त उपय ग ह । इसक अल व प ल ट स त र क ग ण क बह त अच छ तरह स इ ग त करत ह ।
सबस पहल, हम द ख सकत ह क सभ सम ध न म सम न द र ह # आर ^ {1 / n} # (हम र उद हरण म #2^{1/3}#) म ल स । इसल ए व सभ त र ज य क पर ध पर रहत ह # आर ^ {1 / n} #। अब हम इश र करन ह ग कह प इस पर ध पर उन ह रखन क ल ए। हम न म नल ख त तर क स स इन और क स इन क तर क क फ र स ल ख सकत ह:
# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos (थ ट / n + (2pi) / n k) + i प प (theta / n + (2pi) / n k) #
"पहल " र ट स म ल ख त ह # K = 0 #:
# z_0 = r ^ {1 / n} (cos (थ ट / n) + म प प (थ ट / n)) #
अन य सभ जड क ण ज ड कर इसस प र प त क ज सकत ह # (2pi) / एन # क ण क ल ए प नर वर त # थ ट / एन # पहल जड क स प क ष # Z_0 #। इसल ए हम आग बढ रह ह # Z_0 # क एक घ म व द व र पर ध पर # (2pi) / एन # र ड यन (# (360 °) / एन #)। त अ क एक न यम त क क न पर स थ त ह # उपलब ध नह #gon क । उनम स एक क द खत ह ए, हम द सर क प सकत ह ।
हम र म मल म:
न ल क ण कह ह
# थ ट / n = -pi / 18 # और मज ट एक ह
# (2pi) / n = 2/3 pi #.
